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Universität/Hochschule J Gruppen und Quotientengruppen
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-02


Hallo,

Ich habe zwei Fragen:

1.) Mittlerweile bin ich sehr verwirrt was denn der Unterschied zwischen den Schreibweisen $m\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}_{m}$ und $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ ist.

Beim ersten geht es ja z.B. um eine Menge die alle Vielfachen von m enthält oder?

Das Zweite kann ja z.B. eine Gruppe oder auch ein Ring/Körper sein in der modulo gerechnet wird richtig?

Was beduetet dann die letzte Schreibweise? Wir haben gerade ganz neu Quotientengruppen eingeführt, ist diese Schreibweise dann die Menge die alle Nebenklassen von $m\mathbb{Z}$ enthält?

2.) Der Satz von Lagrange besagt, dass (ich betrachte hier nur kommutative Gruppen, auch wenn dies nichts ändert, nur als Info)

"Die Ordnung einer Untergruppe teilt also die Gruppenordnung; insbesondere teilt auch die Ordnung eines Gruppenelementes die Gruppenordnung."

Betrachte ich z.B. die Einheitengruppe $\mathbb{Z}_{11}^{*}$, so hat diese Gruppe 10 Elemente, da es sich um einen Körper handelt und jedes Element außer der 0 ein multiplikatives Inverses besitzt. Aber die Gruppenordnung wird doch nicht durch die Ordnung der Untergruppenordnung geteilt oder? In diesem Fall wäre das ja 11/10, also $|\mathbb{Z}_{11}| / |\mathbb{Z}_{11}^{*}|$ oder verstehe ich das falsch?

Wie sind Quotientengruppen überhaupt zu verstehen? Es wurde bei uns angefangen eine Äquivalenzrelation auf einer kommutativen Gruppe G zu definieren, $g_{1} \sim_{U} g_{2} \Leftrightarrow g_{1} - g_{2} \in U$ wobei U eine Untergruppe von G ist. Dann wurde die Äquivalenzklasse eines Elements g als Nebenklasse eingeführt, nur verstehe ich noch nicht ganz woher diese Art der Gruppe ihren Namen her hat, was das mit "teilen" bzw Quotienten zu tun hat. Kann mir da jemand vielleicht einen Denkstoß verpassen?

Danke für eure Aufmerksamkeit :)

Mfg

Ps: Irgendwie schaffe ich es nicht in Unterforen von Unterforen zu posten, ich wollte dies hier eigentlich in "Gruppen" posten, warum klappt das nicht? Ich navigiere immer zum entsprechenden Forum und erstelle dann einen psot. Mache ic hwas falsch?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02


Hallo,


1.) Mittlerweile bin ich sehr verwirrt was denn der Unterschied zwischen den Schreibweisen $m\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}_m$ und $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ ist.

So wie du es hinschreibst sind es erstmal "nur" Mengen.
Gruppen, Ringe, oder Körper benötigen auch immer eine Struktur, also eben die entsprechenden Operationen (etwa $+$ und $\cdot$)

In der Regel lässt man dies jedoch Weg. Anstelle eine Gruppe $(G,\circ)$ schreibt man oft einfach eine Gruppe $G$, vor allem dann wenn klar ist, was die entsprechende Gruppenoperation sein soll.

So ist zum Beispiel $\mathbb{Z}$ eine Gruppe bzgl. $+$, aber nicht bzgl. $\cdot$ (Warum?)

Wie du richtig sagst, ist $m\mathbb{Z}$ die Menge aller m-vielfachen, oder anders ausgedrückt aller durch $m$ teilbaren Zahlen.

Also zum Beispiel $2\mathbb{Z}=\{0,\pm 2,\pm 4,\pm 6,\dotso\}$
oder allgemein $m\mathbb{Z}=\{mz|\, z\in\mathbb{Z}\}$

Einen wirklichen Unterschied zwischen $\mathbb{Z}_m$ und $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ gibt es nicht. Oft werden diese Bezeichnungen synonym verwendet.

Beides meint also (zumindest in einer einführenden Vorlesung) das gleiche. Also die Gruppe der ganzen Zahlen modulo $m$.

Diese Gruppe ist dann endlich und hat $m$ Elemente.
Die Elemente in dieser Gruppe sind nun nunmehr Äquivalenzklassen, oder genauer Restklassen.

In der Mathematik gibt es aber auch die p-adischen Zahlen.
Dann bedeutet $\mathbb{Z}_p$ etwas (ganz) anderes.


Für eine Primzahl $p$ ist $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ein Körper.
In der Regel ist $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ jedoch ein Ring.


Im Grunde hast du also mit deinen Ausführungen recht. Man kann $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ sowohl als Gruppe, Ring, oder (wenn wie gesagt $m$ Prim ist) Körper betrachten. Aus dem Kontext wird eigentlich immer klar sein, was denn eigentlich gemeint ist.

Zum Satz von Lagrange:

Du musst hier nun aufpassen.
Bezüglich welcher Operation ist denn $\mathbb{Z}_{11}$ eine Gruppe?

Das ist nur für $+$ so. Nicht aber für $\cdot$.


 da es sich um einen Körper handelt und jedes Element außer der 0 ein multiplikatives Inverses besitzt.

Genau. Im Klartext: $\mathbb{Z}_{11}$ ist bezüglich $\cdot$ eben keine Gruppe.
Denn es gibt ja kein multiplikatives Inverses der Null.
Also kein Element aus $\mathbb{Z}_m$ sodass $0\cdot x=1$.

In einer Gruppe muss aber jedes Element bezüglich der Gruppenoperation invertierbar sein.

Die Einheitengruppe bezieht sich auf die Operation $\cdot$. Also gemeint ist hier $(\mathbb{Z}_{11}^\ast,\cdot)$ ist eine Gruppe.
Das ist also eine ganz andere Operation, und damit keine Untergruppe von $(\mathbb{Z}_{11},+)$

Damit ist dann der Satz von Lagrange auf diese spezielle Sitation nicht anwendbar.


Wie sind Quotientengruppen überhaupt zu verstehen?

Woher der Name genau kommt, kann ich dir auch nicht sagen.

Wie es aussieht habt ihr auch noch keine sog. Normalteiler eingeführt.
Das sind Untergruppen mit einer ganz speziellen Eigenschaft.
Ihr betrachtet hier nur kommutative Gruppen. In kommutativen Gruppen sind jedoch alle Untergruppen automatisch solche Normalteiler, und eine Quotientengruppe ist normalerweise auch nur für solche Normalteiler definiert.

Es gibt die sog. Isomorphiesätze.
Diese beschreiben eine Art "Kürzungseigenschaften", wie man es eben von Brüchen (Quotienten) kennt.

Man kann dann also mit solchen Quotientengruppen rechnen wie mit Brüchen. Jedenfalls lässt sich die Rechenregel "Man dividiert zwei Brüche, indem man mit dem Kehrwert multipliziert" in einem dieser Isomorphiesätze wiederfinden.

Ansonsten spricht man bei Äquivalenzrelationen auch oft davon, dass man etwas "rausteilt", oder allein die Notation mit dem / erinnert an Quotienten.

Grundsätzlich ist eine Quotientengruppe erstmal nur eine Gruppe, deren Elemente nun Nebenklassen sind.


Ps: Irgendwie schaffe ich es nicht in Unterforen von Unterforen zu posten

Ich glaube nur Moderatoren und Senioren können deine Frage entsprechend enger einsortieren, aber ich bin mir nicht sicher.



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Vielen dank für die ausführliche Antwort. Kann ich mit dem Satz von Lagrange jedoch folgende Eigenschaft nachweisen?

Wenn $\mathbb{Z}_{11}^{*}$ die Einheitengruppe von $\mathbb{Z}_{11}$ ist, ist diese trotzdem keine Untergruppe davon, bezüglich der Multiplikation. Das macht Sinn. Sie ist aber unabhängig betrachtet, eine Gruppe. Und jede Gruppe ist eine Untergruppe von sich selbst oder? Kann ich dann also aus dem Satz von Lagrange folgern, dass alle Elemente aus $\mathbb{Z}_{11}^{*}$ eine Ordnung haben welche die Gruppenordnung, also 10, teilt?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-02


2020-07-02 18:03 - MePep in Beitrag No. 2 schreibt:
$\mathbb{Z}_{11}^{*}$ die Einheitengruppe [...] ist aber unabhängig betrachtet, eine Gruppe und jede Gruppe ist eine Untergruppe von sich selbst oder?

Ja. Trivialerweise stimmt das.


Kann ich dann also aus dem Satz von Lagrange folgern, dass alle Elemente aus $\mathbb{Z}_{11}^{*}$ eine Ordnung haben welche die Gruppenordnung, also 10, teilt?

Ja, das ist korrekt.

Für die Ordnungen der Elemente kommt also nur 1,2,5 und 10 in Frage.



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