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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Summe ist auch separabel über Körper
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Universität/Hochschule J Summe ist auch separabel über Körper
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-02

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Hey,

ist folgendes korrekt argumentiert?

---

Sei L/K algebraisch und a, b aus L separabel über K.

Haben wir bereits bewiesen:
(1): Wenn $a_1,...,a_n \in L$ separabel über K, so ist $K(a_1,...,a_n)/K$ separabel.
(2): Bei einem Körperturm M/L/K ist äquivalent, dass die jeweiligen beiden Erweiterungen separabel sind und, dass  M/K es ist.

Nun ist offenbar $K(a)/K$ separabel gemäß (1).
Auch ist $(K(a))(b)/K(a)$ separabel (i), denn ein entsprechendes Polynom in K[X], das b separabel ùber K macht ist auch in $(K(a))[X]$, also ist b über K(a) separabel. Mit (1) folgt dann bereits (i).
Mit (2) folgt jetzt $(K(a))(b)=K(a,b)$ separabel über K, und damit ist insbesondere auch a+b separabel über K.

---

Das erscheint mir relativ trivial und auch ist die angegebene Lösung deutlich komplizierter.

Grüße und Dankeschön


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)
\(\endgroup\)


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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02


Hallo,
ich glaube auch, dass das nicht so einfach ist.Woher willst du denn wissen,
dass wenn a und b separable min.pol.haben, a+b dann auch automatisch ein
separables min.pol. hat. Das ist nicht selbstverständlich...



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-02


Hallo,

ich frage mich, warum du nicht nur 1) verwendest:
Wenn $\alpha,\beta$ über K separabel sind, dann folgt doch aus 1) direkt, dass $K(\alpha,\beta)$ über $K$ separabel ist.

Kannst du sicherstellen, dass ihr 1) nicht mit Hilfe der hier zu zeigenden Aussage bewiesen habt?

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Stimmt klar, es folgt auch direkt aus 1).

Ja, wir haben das Theorem ohne das zu wissen bewiesen. Aber deshalb vermute ich nun (denn sonst ist die Aufgabe sinnlos), dass mit der Aufgabenstellung gemeint ist, dass man den Beweis und insb. die Folgerung für a+b nochmal genauer und intuitiv verstehen soll.

Danke sehr euch beiden!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)



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