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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » charakteristisches Polynom eines Endomorphismus berechnen
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Universität/Hochschule J charakteristisches Polynom eines Endomorphismus berechnen
DonifcbXXX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-02


Hallo Leute,

Ich scheitere an folgender Aufgabe:
Gegeben ist V = {p reelles Polynom : deg (p) kleinergleich 2} und f ist eine Abbildung von V nach V definiert durch f(p) = 2p - p' wobei p' die Ableitung des Polynoms ist.

Bestimme das charakteristische Polynom und die Jordansche Normalform.

Meine Idee: Ich will die Abbildungsmatrix aufstellen (aber daran scheitere ich schon), wenn das geschafft wäre, dann wäre der Rest hoffentlich nur noch Formsache.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02


Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!

Deine Idee ist vollkommen richtig. Aber was meinst du damit, du scheiterst? Ich nehme an, du kennst die Definition der Abbildungsmatrix und hast sowas schonmal gemacht. Woran genau hängt es?




[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von ligning]


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JonyGo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-02


Eine darstellende Matrix ist nicht nötig. Aus $(f-2\cdot id_V)(p)=p'$ folgt $(f-2\cdot id_V)^3(p)=p'''=0$. Wegen $(f-2\cdot id_V)^2(p)=p''\neq 0$ für $deg(p)=2$ ist $(X-2)^3$ das Minimalpolynom und mit $dim(V)=3$ auch das charakteristische Polyonom. Damit hat die Jordannormalform genau ein Jordankästchen der Größe 3.



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DonifcbXXX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Hallo JonyGo,

Soweit ich weiß, sind wir in unserer Vorlesung noch gar nicht beim Minimalpolynom, weiß daher nicht, ob ich das so verwenden darf.

Hallo ligning,

Danke für die schnelle Antwort. Vielleicht liegt mein Problem darin, dass wir meistens so Aufgaben wie f: R^3 nach R^3 hatten mit x wird abgebildet auf (x1 - x3, 2x1 + x2 + x3, -x3) und da war es immer ziemlich leicht eine Abbildungsmatrix zu erstellen.

Hier sind es irgendwelche ungewohnte Polynome...

Habe mittlerweile eine Idee:

Da p kleinergleich 2 ist, würde ich für p die allgemeine Form p = c+bx+ax^2 nehmen, p' wäre dann p' = b+2ax und f(c+bx+ax^2) = 2c-b+2x(b-a)+2ax^2.

Im Netz habe ich bei vielen solcher Aufgaben gesehen, dass eine Basis gegeben war, hier ist keine vorgegeben, ich würde daher (1,x,x^2) wählen.

Wenn das alles so stimmt, hätte ich folgendes raus:

f(1) = 2
f(x) = -1+2x
f(x^2) = -2x - 2x^2

f(1) wäre meine erste Spalte der Abbildungsmatrix
f(x) die zweite und f(x^2) die dritte Spalte


Oder ist der Ansatz falsch?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-03


Hallo,


Der Ansatz ist gut. Du musst aber f nicht so explizit angeben, es genügt eine Basis zu wählen und dann f(x)=2x - 1 hinzuschreiben .

Das einzige nicht korrekte ist, dass nicht f(1) deine erste Spalte ist. Du musst f(1) als Linearkombination deiner Basis schreiben und dann bilden die Koeffizienten dieser Linearkombination die erste Spalte.
Beachte: in der Matrix taucht deswegen an keiner Stelle ein x auf

Grüsse creasy


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Smile (:



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DonifcbXXX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Danke



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