Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Äquivalenzrelation auf I², um Möbiusband zu generieren
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Äquivalenzrelation auf I², um Möbiusband zu generieren
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-02


Guten Abend,

bin gerade etwas zugange Äquivalenzrelationen zu verstehen. Im Speziellen würde ich gerne die erzeugte Äquivalenzrelation \(\approx \) auf dem Einheitsintervallquadrat \(I^2\) definieren, die man aus der Äquivalenzrelation \((0,y)\sim (1,1-y)\) erhält. Mein Vorschlag wäre:

\((x,y)\approx (w,z)\) äquivalent zu \((x,y)=(w,z)\) oder \(((x,y),(w,z))=((0,y),(1,1-y))\) oder \(((x,y),(w,z))=((1,1-y),(0,y))\) für alle x,y,w,z \(\in I^2\)

Habe es jetzt nicht speziell nachgeprüft, aber hier sollte doch transitivität, symmetrie und reflexivität gewährleistet sein und damit eine geeignete erzeugte Äquivalenzrelation gegeben sein oder?

VG
Physics



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6043
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02


Hallo Physics,

2020-07-02 21:34 - Physics im Themenstart schreibt:
Habe es jetzt nicht speziell nachgeprüft, aber hier sollte doch transitivität, symmetrie und reflexivität gewährleistet sein und damit eine geeignete erzeugte Äquivalenzrelation gegeben sein oder?

Wenn du solch eine Behauptung aufstellst, solltest du das schon nachprüfen können.

Hier hast du jedenfalls etwas geschlampert. Es fängt damit an, dass es zum Schluss nicht I², sondern I heißen muss. Vor allem solltest du die Quantoren ("für alle x, y, w, z") überdenken.

Grüße
StrgAltEntf



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Abend StrgAltEntf,

stimmt, vielen Dank!
Alternativ könnte ich auch einfach schreiben \((x,y), (w,z) \in I^2\).
Auch das mit dem Allquantor ist natürlich Quatsch, da hast du Recht. Im Prinzip habe ich ja in der Relation gerade das 2-Tupel , das die 3 Aussagen erfüllt. Eine Kombination a la \((0,1),(1/2,1/2)\) erfüllt ja keine der 3 Aussagen. Insofern reicht es wohl am Ende zu schreiben "für \((x,y), (w,z) \in I^2\)" oder ich schreibe es einfach vor die Definition der Äquivalenzrelation?

Hab jetzt zumindest mal die Reflexivität und die Symmetrie überprüft, das passt. Muss man bei der Transitivität eine Fallunterscheidung machen, oder lässt sich das auch leichter zeigen? Mit dem Brecheisen hätte ich halt jetzt mal alle möglichen Kombinationen hingeschrieben und dann anhand der logischen Operatoren die Aussage verifziert.

VG
Physics



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6043
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-03


Hallo Physics,

gestern Abend war ich wohl etwas irritiert, und im Wesentliche ist es ganz okay.

2020-07-02 23:31 - Physics in Beitrag No. 2 schreibt:
Insofern reicht es wohl am Ende zu schreiben "für \((x,y), (w,z) \in I^2\)" oder ich schreibe es einfach vor die Definition der Äquivalenzrelation?

Das am Anfang zu schreiben halte ich für besser, also

Für \((x,y), (w,z) \in I^2\) sei \((x,y)\approx (w,z)\) \(:\Leftrightarrow\) ...

(hier "äquivalent zu" zu schreiben fände ich auch etwas verwirrend, wenn man gerade eine Äquivalenzrelation definiert.)

Ein kleiner Fehler ist aber noch drin. Statt
\(((x,y),(w,z))=((1,1-y),(0,y))\)
muss es heißen
\(((x,y),(w,z))=((1,y),(0,1-y))\)

Um formal die Transitivität zu zeigen, kommst du wohl um eine Fallunterscheidung nicht herum. Aufschreiben würde ich es auch nicht, aber man sollte wissen, dass man es im Zweifelsfall könnte.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Morgen StrgAltEntf,

etwas verspätet meine Rückmeldung. Danke für die Korrektur!

Eine Frage hätte ich noch: Also im Prinzip definiert man die Äquivalenzrelation ja dadurch, dass eben \((x,y)\approx (w,z)\) äquivalent zu Aussagen sein sollen, die man dann eben auflistet (und die eben symmetrisch, transitiv und reflexiv sind).
Wenn wir jetzt beispielsweise das Tupel \(((0,1),(1,0))\) betrachten, so erfüllt dieses Tupel gerade die Aussage \(((0,y),(1,1-y))\). Aber woher weiß man jetzt dass diese Aussage gerade besagt "Identifiziere die 2 Punkte miteinander". Weil wir überprüfen ja nur ob die Aussage wahr ist. Dass sie Punkte miteinander identifiziert steht da ja nicht explizit.

VG
Physics



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6043
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-08 23:26


2020-07-06 09:51 - Physics in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber woher weiß man jetzt dass diese Aussage gerade besagt "Identifiziere die 2 Punkte miteinander". Weil wir überprüfen ja nur ob die Aussage wahr ist. Dass sie Punkte miteinander identifiziert steht da ja nicht explizit.

Hm, das ist doch der Witz an der ganzen Sache. Äquivalente Punkte werden identifiziert (verklebt). Man kann sie also nicht mehr unterscheiden. Oder habe ich deine Frage nicht richtig verstanden?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]