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Mathematik » Stochastik und Statistik » Äquivalenz zweier Ausdrücke
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Universität/Hochschule J Äquivalenz zweier Ausdrücke
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-03


Wieso gilt hier Gleichheit ?

\[
\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{1}{2}||x-iC^{\frac{1}{2}}h||_2^2}dx = \prod_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}}e^{-\frac{1}{2}|x_k-i(C^{\frac{1}{2}}h)_k|^2}dx_k
\]
Wobei $x,h \in \mathbb{R}^n$ und $C \in \mathbb{R}^{n \times n}$, strikt positiv

Ich hab das mal in dieses Forum gepostet, weil dieses Integral so in einem stochastischen Zusammenhang auftaucht.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-03


2020-07-03 00:02 - Pter87 im Themenstart schreibt:
Wieso gilt hier Gleichheit ?

Fehlt da auf der rechten Seite nicht noch ein Quadrat?

Mit dieser Korrektur folgt die Gleichheit aus $\displaystyle
\left\|x-iC^{\frac{1}{2}}h\right\|_2^2 =
\sum_{k=1}^n\left[x_k-i(C^{\frac{1}{2}}h)_k\right]^2$.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Ja, du hast recht. Ich hab ein Quadrat vergessen. Hab es korrigiert.

Dass diese von dir genannte Gleichheit gilt war mir klar, aber wieso darf er denn dann einfach aus dem Integral eines Produkts von e-Funktionen ein Produkt der Integrale machen ?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-03


2020-07-03 00:54 - Pter87 in Beitrag No. 2 schreibt:
aber wieso darf er denn dann einfach aus dem Integral eines Produkts von e-Funktionen ein Produkt der Integrale machen ?

Ist dir eine Beziehung wie $\displaystyle
\int_{\mathbb R^2}f(x_1)\,g(x_2)\,\mathrm dx =
\int_{\mathbb R}f(x_1)\,\mathrm dx_1 \cdot
\int_{\mathbb R}g(x_2)\,\mathrm dx_2
$  klar? Schau dir im Zweifelsfall nochmal den Satz von Fubini an.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Ohh man, natürlich der Satz von Fubini. Jetzt ist mir alles klar.

Vielen Dank für deine Hilfe



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