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  Wie kommt man darauf, dass das Maximum auf dem Rand angenommen wird? |
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daenerystargaryen
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 179
 |  Themenstart: 2020-07-04
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Hallo,
ich gehe gerade alte Klausuren durch und mir ist leider aufgefallen, dass ich noch viele Probleme zum Thema metrische Räume habe.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52477_kern.PNG
Ich habe leider zu dieser Aufgabe keine Lösungen und viele Fragen zur Herangehensweise.
Zunächst einmal stelle ich mir die Frage (auch wenn es eigentlich nicht Teil der Aufgabenstellung ist) wie man darauf kommt, dass die angegebene gerade dem Rand von K entspricht. Ich habe das noch nie gesehen, dass man von einer gegebenen Funktion den Rand bestimmt und auch als ich mir das Ganze mal zeichnen lassen habe, habe ich keine wirkliche Erleuchtung gehabt.
Und bei der eigentlichen Aufgabe bin ich zunächst so vorgegangen, dass ich zunächst einmal geschuat habe, ob lokale Extrema vorliegen, was nicht der Fall ist. Deshalb frage ich mich, wie man auf diese Gerade kommt, auf der K ihr Maximum annimmt.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte (Sei es auch nur bei einem Teil meines Problems)
Viele Grüße
daenerystargaryen
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,
für den ersten Teil deiner Frage reicht meiner Ansicht nach die folgende Überlegung: da \(x\ge 0\) und \(y\ge 0\) sind, besteht dein Funktionsterm aus einem Produkt zweier nichtnegativer streng monoton wachsender Funktionen. Also muss das Maximum irgendwo dort angenommen werden, wo man das "Wachstumspotenzial" der beiden Variablen möglichst optimal ausschöpft. Und das muss eben irgendwo auf dieser Berandungsgeraden \(x+3y=10\) sein. Denn wäre es nicht dort, dann könntest du mindestens eine der Variablen noch vergrößern und damit würde das Produkt eben auch anwachsen.
Gruß, Diophant
PS: hat das irgendeinen tieferen Sinn, dass du die Frage in "Topologie" eingeordnet hast? \(\endgroup\)
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Profil
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daenerystargaryen
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 179
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04
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Hallo, vielen Dank für deine Hilfe, den ersten Teil habe ich nun verstanden:)
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Profil
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-04
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\quoteon(2020-07-04 15:43 - daenerystargaryen in Beitrag No. 2)
den ersten Teil habe ich nun verstanden
\quoteoff
Bisher wurde nur argumentiert: Wenn die Funktion ihr Maximum annimmt, dann liegt es auf diesem Teil des Randes.
Es fehlt noch: Warum nimmt die Funktion ihr Maximum überhaupt an?
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daenerystargaryen
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 179
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04
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Hallo zippy, danke für deine Antwort:) Kann man hier mit Stetigkeit argumentieren, oder vergesse/verwechsel ich hier etwas?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-04
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\quoteon(2020-07-04 21:14 - daenerystargaryen in Beitrag No. 4)
Kann man hier mit Stetigkeit argumentieren...
\quoteoff
Stetigkeit + Kompaktheit von $K$.
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daenerystargaryen
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 179
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04
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ok, vielen Dank für die präzise Antwort:)
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daenerystargaryen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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