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 Verallgemeinerung eines Beweises ins Mehrdimensionale |
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hu97fuh
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.06.2015
Mitteilungen: 29
 |  Themenstart: 2020-07-05
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Hallo Ich habe einen Beweis für eine Funktion \(G: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) geführt. Nur leider bin ich auch an der Aussage für Funktionen \(G: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) interessiert. Die Aussage plus Beweis hat die folgende Form:
Sei $G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ zweimal stetig-differenzierbar so dass die erste Ableitung durch die Konstante $C_A$ und die zweite durch die Konstante $C_A'$ berschränkt ist. Dann gilt
\[
|G(x_1)-G(x_2)-G(x_3)+G(x_4)| \\
\leq C[|x_1-x_2-x_3+x_4|+|x_1-x_3|(|x_1-x_2|+|x_3-x_4|)].
\]
Beweis:
Es gilt mit dem Hauptsatz der Integralrechnung
\[
G(x_1)-G(x_2)+G(x_3)-G(x_4)\\
= \int_0^1(x_1-x_3) \partial_x G(\Theta x_1+(1-\Theta)x_3) \mathrm{d}\Theta\\
-\int_0^1(x_2-x_4) \partial_x G(\Theta x_2+(1-\Theta)x_4)\mathrm{d}\Theta\\
= \int_0^1(x_1-x_2-x_3+x_4) \partial_x G(\Theta x_2 + (1-\Theta)x_4)\mathrm{d}\Theta\\
+\int_0^1 (x_1-x_3)[\partial_xG(\Theta x_1+(1-\Theta)x_3)-\partial_x G(\Theta x_2 +(1-\Theta)x_4] \mathrm{d} \Theta.
\]
Führen wir im ersten Integral die Substitution $x=\Theta x_2+(1-\Theta) x_4$ durch so erhalten wir
\[
=(x_1-x_2-x_3+x_4)(\frac{G(x_2)-G(x_4)}{x_2-x_4})\\
+\int_0^1 (x_1-x_3)[\partial_xG(\Theta x_1+(1-\Theta)x_3)-\partial_x G(\Theta x_2 +(1-\Theta)x_4] \mathrm{d} \Theta
\]
Damit folgt
\[
|G(x_1)-G(x_2)+G(x_3)-G(x_4)|\\
\leq |x_1-x_2-x_3+x_4|(\frac{|G(x_2)-G(x_4)|}{|x_2-x_4|})\\
+|x_1-x_3|\int_0^1 [|\partial_xG(\Theta x_1+(1-\Theta)x_3)-\partial_x G(\Theta x_2 +(1-\Theta)x_4|] \mathrm{d} \Theta
\]
Wenden wir den Mittelwertsatz auf $G$ und $\partial_xG$ an so erhalten wir als weitere Abschätzung mit $C:=C_A+2C_A'$
\[
\leq C_A |x_1-x_2-x_3+x_4| \\
+ C_A'|x_1-x_3|\int_0^1 |(x_1-x_2-x_3+x_4)\Theta +x_3-x_4| \mathrm{d}\Theta\\
\leq C |x_1-x_2-x_3+x_4| \\
+ C'|x_1-x_3|(|(x_1-x_2-(x_3-x_4)|+|x_3-x_4)|) \\
\leq C_A |x_1-x_2-x_3+x_4| \\
+ C_A'|x_1-x_3|(|x_1-x_2|+2|x_3-x_4|) \\
\leq C[|x_1-x_2-x_3+x_4|+|x_1-x_3|(|x_1-x_2|+|x_3-x_4|)]
\]
Nun wäre eine Verallgemeinerung der Form \[
||G(x_1)-G(x_2)-G(x_3)+G(x_4)|| \\
\leq C[||x_1-x_2-x_3+x_4||+||x_1-x_3||(||x_1-x_2||+||x_3-x_4||)].
\]
super, wobei \(G: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) und die euklidische Norm oder wegen mir auch eine andere passende Norm verwendet wird. Ich mein die Berschränkt der Ableitung und der Mittelwertsatz lassen sich brauchbar erweitern. Aber diese Integraldarstellung im Beweis funktioniert im mehrdimensionalen auf keinen Fall mehr. Hat irgendjemand eine Idee wie man die Verallgemeinerung beweisen könnte?
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