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Analysis » Funktionenfolgen und -reihen » Wieso betrachtet man den Rand der Funktion?
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Universität/Hochschule Wieso betrachtet man den Rand der Funktion?
daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-06


Hallo,
ich habe mal eine (wahrscheinlich standartmäßige) Frage. Trotzdem habe ich Probleme, hier die Lösung bzw. den Grund für die Herangehensweise zu finden.
Es geht um diese Funktion für ${x \in R^{n}}$ :
$$f_{k}(x)=\frac{1+|x|^{k}}{2+|x|^{2k}}$$ Ich soll nun die Menge aller Unstetigkeitsstellen bestimmen.
Die Lösung zu dieser Aufgabe ist sehr knapp.
$$\partial B_{1}(0) ={\{x \in  R^{n}:|x|=1\}}$$ Ich verstehe aber leider die gesamte Herangehensweise nicht. Wieso wurde hier der Rand einer Menge betrachtet um Unstetigkeitsstellen zu finden und wieso gerade an der Stelle 0?

Es wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet.
LG
daenerystargaryen



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-06


Hallo,

kannst du die Aufgabe bitte nochmal im Originalwortlaut widergeben? Alle Funktionen $f_k$ sind auf ihren gesamten Definitionsbereichen stetig.

Untersuche die Funktionenfolge zunächst für $n=1$. Für größere $n$ ändert sich wenig, da $f_k(x)=f_k(y)$ für alle $x,y\in\mathbb{R}^n$ mit $\|x\|=\|y\|$ gilt. Die Funktionswerte hängen ausschließlich von der Norm des Argumentes der Funktion ab.


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionenfolgen und -reihen' von ochen]



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Hallo, danke für die Nachfrage.
Klar, dass ist die orignal-Aufgabe:


Ich beziehe mich bei meiner Frage auf die b)



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-06


Ok :) Wie lautet deine Lösung zur Aufgabe a)?



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


2020-07-06 10:08 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:
Ok :) Wie lautet deine Lösung zur Aufgabe a)?

Das sind die Lösungen:)
x<=1  -->1/2
x>=1  -->0
x=1   -->2/3



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-06


Das ist leider nur fast richtig. Für $n\geq 2$ ist $x$ keine reelle Zahl sondern ein Vektor. Insofern ist $x\leq 1$ nicht sinnvoll?

Bleiben wir bei $n=1$. Was ist $f(-1)$ und warum?



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Hallo, f(-1)=1/2 wegen der Norm



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-06


Das stimmt nicht. Kannst du bitte deine Rechnung zeigen? Wie ist $f(-1)$ definiert? Was sind beispielsweise $f_3(-1)$ und $f_{17}(-1)$?



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


2020-07-06 11:06 - daenerystargaryen in Beitrag No. 9 schreibt:
2020-07-06 11:06 - daenerystargaryen in Beitrag No. 8 schreibt:
Oh man, sorry weiß auch nicht wie ich auf 1/2 komme:

$$f_{1}(-1)=\frac{1+|-1|}{2+|-1|^{2}}=2/3$$ $$f_{3}(-1)=\frac{1+|-1|^{3}}{2+|-1|^{6}}=2/3$$ $$f_{17}(-1)=\frac{1+|-1|^{17}}{2+|-1|^{34}}=2/3$$




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

im Nenner muss in der Summe eine 2 stehen. Vorher hattest du es schon richtig, dann hast du deine richtige Rechnung wieder gelöscht...

Vielleicht berechnest du einmal die punktweisen Limites für \(|x|<1\) und \(|x|>1\) gleich noch dazu.

Und es scheint mir auch so, als ob dir noch nicht so ganz klar ist, was du hier machst bzw. betrachtest. In solchen Fällen ist es wichtig (und für uns hilfreich), wenn die Verständnisschwierigkeiten auch möglichst präzise verbal formuliert werden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hi, vielen Dank für die Antwort mit dem Hinweis. Ich habe es jetzt nochmal geändert. Mein Problem an der ganzen Aufabe ist, dass ich verstehe wieso man mit der Betrachtung von $$\partial B_{1}(0) ={\{x \in  R^{n}:|x|=1\}}$$ die Unstetigkeitsstellen bestimmen kann.
Ich verstehe eigentlich die gesamte Herangehensweise nicht wirklich. Wieso nimmt man hier den Rand von einer Menge und wieso wurde das ganze an der Stelle x=0 betrachtet?

Ich habe auch schon die restlichen Werte für den punktweisen limes bestimmt:
|x|<1-->1/2
|x|>1-->0
|x|=1-->2/3

Es tut mit wirklich leid, wenn das ganze jetzt Offensichtlich ist, aber ich sehe gerade irgendwie nicht inwiefern da ein zusammenhang besteht:(
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-07-06 13:18 - daenerystargaryen in Beitrag No. 12 schreibt:
Mein Problem an der ganzen Aufabe ist, dass ich verstehe wieso man mit der Betrachtung von $$\partial B_{1}(0) ={\{x \in  R^{n}:|x|=1\}}$$ die Unstetigkeitsstellen bestimmen kann.

Die Unstetigkeitsstellen von was genau?
 
2020-07-06 13:18 - daenerystargaryen in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich verstehe eigentlich die gesamte Herangehensweise nicht wirklich. Wieso nimmt man hier den Rand von einer Menge und wieso wurde das ganze an der Stelle x=0 betrachtet?

Wie kommst du darauf, dass man hier etwas "an der Stelle 0 betrachtet"? Das ist eine Schreibweise für die gesuchte Menge. B steht wohl für englisch ball, also eine Umgebung. Die 0 sagt dir, dass es eine Umgebung um den Nullpunkt ist und das kleine delta zeigt an, dass es um den Rand einer solchen Umgebung geht. Es hängt ja von der Anzahl der Dimensionen ab, um was für ein Gebilde es sich bei der Menge der Unstetigkeitsstellen handelt. Im \(\IR^2\) wäre es ein Kreis, im \(\IR^3\) eine Kugel, usw. Und dafür ist eben das englische Wort ball gebräuchlich.

Vielleicht ist dir das bei \(\varepsilon\)-Umgebungen im Mehrdimensionalen schon einmal irgendwo untergekommen? Manchmal spricht man da im Deutschen dann auch von Epsilon-Bällen anstelle von Epsilon-Umgebungen. Also letztendlich ist es nur einen Namensgebung für die gesuchte Menge.

2020-07-06 13:18 - daenerystargaryen in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich habe auch schon die restlichen Werte für den punktweisen limes bestimmt:
|x|<1-->1/2
|x|>1-->0
|x|=1-->2/3

Ja, die sind richtig. Und jetzt komme ich zu meiner Ausgangsfrage zurück. Was soll nun in Aufgabenteil a) aus diesen Werten gebildet werden?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)


Hallo, vielen Dank für die Antwort. Das hat mir schon einiges deutlicher gemacht:) Trotzdem habe ich noch ein paar Fragen.

Die Unstetigkeitsstellen von was genau?

Hier meine ich die Unsttetigkeitsstellen von $$f_{k}(x)=\frac{1+|x|^{k}}{2+|x|^{2k}}$$ beziehungsweise hoffe ich, dass das mit der Aufgabenstellung gemeint ist. In den "offiziellen" Lösungen dazu, wurde dieser Ansatz gewählt $$\partial B_{1}(0) ={\{x \in  R^{n}:|x|=1\}}$$

Und zu deinem zweiten Teil wollte ich fragen, ob es generell gängig ist, sich bei der Überprüfung der Stetigkeit eine gewisse Umgebung des Nullpunkts anzuguckenanzugucken? Also ist es in dieser Aufgabe so, dass für |x|=1 eine Umstetigkeitsstelle vorliegt, augrund des Funktionswertes? Müsste dieser 0 sein, da dies ja für |x|<1 gilt?




\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-07-06


Hallo,

deine Rückfrage zeigt mir: du hast noch nicht wirklich verstanden, worum es hier geht.

Gegeben ist zunächst eine Funktionenfolge. Also eine Folge von Funktionen, deren Laufindex k ist. Im Prinzip also für jedes k eine Funktion. Und um diese Folge geht es hier nicht.

In Aufgabenteil a) ist nach der sog. Grenzfunktion dieser Funktionenfolge gefragt. Wenn dir nicht klar ist, was damit gemeint ist: dann schlage es bitte in deinen Unterlagen nach!

So, und die Unstetigkeitsstellen dieser Grenzfunktion sind gesucht. Ich hoffe, das klärt jetzt die Fragestellung wenigstens?

Vielleicht noch ein weiterer Tipp, der einem Wink mit einem zeimlich ordentlichen Zaunpfahl gleichkommt: du hast schon sämtliche Werte dieser Grenzfunktion berechnet...


Gruß, Diophant



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-07-06


Außerdem hat der topologische Rand nichts mit dieser Aufgabe zu tun. Man wählt keinen "solchen Ansatz", sondern $\partial B_1(0)$ ist bloß ein Name. Ignoriere also die Bezeichnung und denke nur an $\{x \in \mathbb{R}^n : |x| = 1 \}$, falls sie dich verwirrt.

P.S.: Nachdem du die ursprüngliche Aufgabe inklusive Diophants Tipps verstanden hast, solltest du dir überlegen, was die Unstetigkeitsstellen von $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ f(x) = \frac{1+|x|^{42}}{2+|x|^{84}}$ sind. (Die Lösung hat ochen bereits gegeben.)


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Hallo, oh man, ja, dass erklärt einiges. Aber vielen Dank für den Hinweis, jetzt weiß ich ja schonmal welche Definition mir gefehlt hat. Die 1 ist also eine Unstetigkeitsstelle, weil Sie sozusagen als Verbindungsstück zwischen den anderen Grenzfunktionien fungiert und nicht gleichmäßig in diese übergeht.
Aber was genau hat das mit dem rand einer Mege zu tun?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-07-06


Hallo,

es gibt hier nicht mehrere Grenzfunktionen, sondern genau eine. Es wird Zeit, dass du dir über diese Funktion jetzt einmal Klarheit verschaffst und sie geordnet hinschreibst. Und dann klärt sich auch von alleine, wo diese Funktion Unstetigkeitsstellen hat und warum...


Gruß, Diophant



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Auch wenn es sich vielleicht nicht so wirklich aus meiner Formulierung ergibt, denke ich schon dass ich zumidest den Teil mit der Unstetigkeit verstanden habe:


Trotzdem, wieso nimmt man hier den Rand einer Menge her?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

Wenn dir klar ist, dass die Grenzfunktion genau an allen Stellen x mit \(|x|=1\) unstetig ist, dann komme ich ehrlich gesagt nicht mehr so ganz mit, was dann eigentlich dein Anliegen ist?

Was ist denn das für eine Menge? Das war ja jetzt eine rhetorische Frage, denn ich habe dir weiter oben die Antwort schon gegeben, und Kezer hat es doch auch nochmal eindeutig geklärt: die Menge der Unstetigkeitsstellen ist der Rand einer n-dimensionalen Kugel um den Ursprung mit Radius r=1. Für diese Menge ist einfach die Schreibweise \(\partial B_1(0)\) sehr gebräuchlich.

Ich habe hier ja auch das Wort rhetorisch verwendet, obwohl wir hier in einem Matheforum und nicht in einem Rhetorikforum sind. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,
zunächst, tut mir leid an Kezer. Ich habe deine Antwort leider komplett überlesen, dabei ist das die eigentliche Antwort auf meine Frage.
Danke aber auch Diophant, dass du nochmal geantwortet hast.

Allerdings habe ich in Nezug auf Kezer noch eine weitere frage, die sich aus einem weiteren (das ist auch der letzte) Teil der Aufgabe ergibt



In der oberen Aufgabe war es ja so, dass wir $\partial B_{1}(0) ={\{x \in  R^{n}:|x|=1\}}$ betrachtet haben, um als Umgebung den Nullpunkt haben.
Es tut mir leid, falls das jetzt schon lange klar sein sollte, aber ich muss doch dann als Umgebung einfach B(e),B(2e) und B(3e) betrachten.
Ich kenne auch das generelle Vorgehen um zu zeigen, ob eine Funktion gleichmäßig gegen eine andere konvergiert.

Dazu müsste ich ja:
$$sup|f_{k}x-f(x)|=0$$ betrachten. Aber wie differenziere ich jetzt zwischen den einzelnen Fällen B(e),B(2e) und B(3e)?
\(\endgroup\)


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

auch hier geht es doch letztendlich wieder darum, die Aufgabe richtig zu verstehen. Außerdem steht da in Klammern noch ein Hinweis, der einem sagt, dass man hier ohne weitere Rechnung durch geeignete Überlegungen zum Ziel kommt.

Fangen wir mal von hinten an, also für \(j=3\). Dann sind wir also um 3 Einheiten weg vom Nullpunkt. Wenn wir um einen solchen Punkt jetzt wieder eine Umgebung vom Radius r=1 legen: kann da irgendetwas schief gehen mit der gleichmäßigen Konvergenz (benutze deine Kenntnisse der Grenzfunktion hierzu).

Und die gleiche Frage musst du dann für j=2 und j=1 klären.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,
dadurch dass ich ja an der Grenzfunktion erkannt habe, dass f(x)=0 nur dann gilt, wenn |x|>1 und ich ja nur Umgebungen betrachte >1, müssten doch mit $$f(x)=0$$ folgen, dass die Funktionenfolge für alle zu überprüfenden Umgebungen gleichmäßig gegen f konvergiert, oder sehe ich das falsch?
\(\endgroup\)


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-07-06 15:58 - daenerystargaryen in Beitrag No. 23 schreibt:
Hallo,
dadurch dass ich ja an der Grenzfunktion erkannt habe, dass f(x)=0 nur dann gilt, wenn |x|>1 und ich ja nur Umgebungen betrachte >1, müssten doch mit $$f(x)=0$$ folgen, dass die Funktionenfolge für alle zu überprüfenden Umgebungen gleichmäßig gegen f konvergiert, oder sehe ich das falsch?

Das ist leider falsch. Wie gesagt, ich bin mir ziemlich sicher, dass es auch hier wieder an einem falschen Aufgabenverständnis scheitert. Lies dir das nochmal gründlich durch und stelle es dir anschaulich, etwa im \(\IR^2\), vor.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ochen
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Hallo,

beginne wieder mit $n=1$. Um welche Intervalle handelt es sich bei $B_1,B_2,B_3$?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]



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daenerystargaryen
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Hallo, danke nochmal Ochen und Diophant,

Ich weiß dass das jetzt weniger mathematisch ist, aber ich beschreibe mal, wie ich mir das anschualich vorstelle:
Also dadurch, dass die punktweisen Limites x gegen unendlich nur für |x|>1 gegen 0 gehen und ich ja ausschließlich Umgebungen betrachte die größer als 1 sind, (und ich glaube hier liegt mein Denkfehler, den ich jedoch vorerst nicht in der Lag bin zu korrigieren, dass ich irgendein falsches Bild von der Umgebung im Zusammenhang mit der Grenzfunktion habe) folgt, dadurch dass ja $$f(x) = lim_{k -> inf}f_k(x)=0$$ automatisch, dass $$sup|f_{k}x-f(x)|=0$$.

Und eine Frage, Ochen, meinst du statt n k ?



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nein, du verstehst die Aufgabe nach wie vor völlig falsch.

2020-07-06 16:21 - daenerystargaryen in Beitrag No. 26 schreibt:
Also dadurch, dass die punktweisen Limites x gegen unendlich nur für |x|>1 gegen 0 gehen und ich ja ausschließlich Umgebungen betrachte die größer als 1 sind,...

Nach Aufgabenstellung betrachtest du Umgebungen mit dem Radius r=1. Es steht dort wortwörtlich, dass die \(B_j\) offene* Kugeln vom Radius r=1 sind.

* das wird in einem Fall noch von entscheidender Bedeutung sein.

2020-07-06 16:21 - daenerystargaryen in Beitrag No. 26 schreibt:
Und eine Frage, Ochen, meinst du statt n k ?

Nein, ochen meint definitiv \(n=1\). Damit meint er, dass du zunächst den eindimensionalen Fall betrachten sollst. Dann sind die Umgebungen Intervalle. Im Fall \(j=3\) etwa würdest du für diesen Fall das Intervall \((2,4)\) betrachten.

Und die Frage ist nun die: gilt in diesem Intervall überall

\[\limsup_{k\to \infty}\left|f_k(x)-f(x)\right|=0\]
Und wenn ja: warum?

Mache dir jetzt einmal diesen Fall klar, und dann verallgemeinern wir das zunächst auf die anderen \(j\) und dann auf den \(\IR^n\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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Hallo und danke nochmal,

Jetzt habe ich auch verstanden, was mit n gemeint ist:)
Ich frage mich allerding jetzt (leider) wirklich,  wie kommst du auf die (2,4) kommst.

Aber für deine eigentliche Frage habe ich mal folgende Umformungen vorgenommen:
$$sup|f_{k}(x)-f(x)|=sup \frac{1+|x|^{k}}{2+|x|^{2k}}=sup \frac{1}{|x|^{k}}\frac{1+|x|^{-k}}{1+|x|^{-2k}}=<\frac{1}{|x|^{k}}$$
Daraus würde sichmit x=2 für k--> unendlich 0 ergeben. und in diesem Fall wäre also die gliechmäßige Konvergenz gegeben.



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ochen
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Hallo,

das sieht gar nicht schlecht aus :) Ein kleiner Fehler ist noch drin. Beim Ausklammern ist etwas schief gegangen.

Das Intervall ]2,4[ ist die offene Kugel mit dem Radius 1 um den Punkt 3, denn $\{x : |x-3|<1\}=(2,4)$.



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Kleiner Einwand:

2020-07-06 17:02 - daenerystargaryen in Beitrag No. 28 schreibt:
Aber für deine eigentliche Frage habe ich mal folgende Umformungen vorgenommen:
$$sup|f_{k}(x)-f(x)|=sup \frac{1+|x|^{k}}{2+|x|^{2k}}=sup \frac{1}{|x|^{k}}\frac{1+|x|^{-k}}{1+|x|^{-2k}}=<\frac{1}{|x|^{k}}$$

Da ist er wieder, der Fehler mit der verlorenen 2. 😉

Ändert aber nichts an der prinzipiell richtigen Vorgehensweise.

Wobei ich jetzt die Formulierung der Aufgabe dahingehend verstanden habe, dass eine kurze verbale Begründung ausreicht. So,mit dieser Abschätzung ist es aber natürlich perfekt.


Gruß, Diophant
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daenerystargaryen
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hi nochmal,
danke für eure Rückmeldungen:)
Und oh man, bei dem Fehler mit der 2 habe ich mal wieder nicht aufgepasst:/

Aber jetzt, wo ich das ganze umgeformt habe, muss es ich ja noch passen auswerten, dehalb bin ich gerade etwas verwundert, dass die gleichmäßige Konvergenz für j=2 nicht gegeben ist (So vermute ich es zumidest, nach den letzten Posts).
Aber wenn ich doch nun
$$\frac{1}{|2|^{k}}$$ für j=2 betrachte und dem limes für k-->unendlich ilde kommt doch ebenfalss Null raus, oder mache ich hier etwas komplet falsch?

Nur bei der 1 wäre die gleichmäßige Konvergenz dann nicht gegeben, weil der limes für k-->unendlich gegen 1 geht, aber dass haben wir ja praktisch schon an der Unstetigkeit der Grenzfunktion gesehen.
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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2020-07-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-07-07 09:26 - daenerystargaryen in Beitrag No. 31 schreibt:
Hi nochmal,
danke für eure Rückmeldungen:)
Und oh man, bei dem Fehler mit der 2 habe ich mal wieder nicht aufgepasst:/

Ja, aber er wirkt sich ja überhaupt nicht aus. Geschickt gemacht also. 😉

2020-07-07 09:26 - daenerystargaryen in Beitrag No. 31 schreibt:
Aber jetzt, wo ich das ganze umgeformt habe, muss es ich ja noch passen auswerten, dehalb bin ich gerade etwas verwundert, dass die gleichmäßige Konvergenz für j=2 nicht gegeben ist (So vermute ich es zumidest, nach den letzten Posts).

Du vermutest falsch. Beachte, dass die Umgebungen \(B_j\) offen sind. Und überlege dir einmal ein Szenario, welches dazu führt dass überhaupt

\[\limsup_{k\to \infty}\left|f_k(x)-f(x)\right|>0\]
gelten würde. Also was muss dazu passieren?

Es hängt alles an der Grenzfunktion, die kommt in deinen Überlegungen noch viel zu wenig bzw. überhaupt nicht vor.

Mit den richtigen Überlegungen kommt man darauf, dass auf \(B_3\) gleichmäßige Konvergenz vorliegt, auf \(B_1\) und \(B_2\) jedoch nicht.

Warum also ist auf \(B_1\) und \(B_2\) der obige Limes superior der Differenz aus Funktionenfolge und Grenzfunktion größer Null?


Gruß, Diophant
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ochen
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Hallo,

auf $B_2$ liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Aber die Funktionenfolge konvergiert lokal gleichmäßig.

Betrachte $x_k=1+2^{-k}$ für $n=1$ oder ähnliches.

Wie sieht es analog für $n>1$ aus?



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Diophant
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Hallo ochen,

2020-07-07 10:22 - ochen in Beitrag No. 33 schreibt:
auf $B_2$ liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Aber die Funktionenfolge konvergiert lokal gleichmäßig.

Stimmt. Das hatte ich verwechselt.


Gruß, Diophant
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daenerystargaryen
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Hallo,
ich glaube (oder bin mir sogar eigentlich ziemlich sicher), dass das falsch ich, was ich mache, da ich damit wieder auf die gleichmäßige Konvergenz auf  $B_{2}$ komme, trotzdem weiß ich nicht warum ich dass so nicht machen darf.
Ich habe doch jetzt die Umformungen bis zu $\frac{1}{|x|^{k}}$ gemacht, damit ich da jetzt meine Umgebeungen einsetzten kann.
Ich hätte das jetzt für $B_{2}$ und $B_{3}$ so gemacht:
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{(1+2^{-k})^{k}}=0$
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{(1+3^{-k})^{k}}=0$
Aber ich glaube damit treffe ich mal wieder nicht den springenden Punkt eurer Rückfragen...
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Diophant
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Hallo,

dein Problem ist nach wie vor, dass du die Grenzfunktion nicht beachtest. So gilt bspw. deine Abschätzung aus Beitrag #28 nur für \(|x|>1\). Das war auf \(B_3\) gewährleistet, auf \(B_1\) ist es nicht gewährleistet und auf \(B_2\) wird der Rand zum Problem.

2020-07-07 10:54 - daenerystargaryen in Beitrag No. 35 schreibt:
Hallo,
ich glaube (oder bin mir sogar eigentlich ziemlich sicher), dass das falsch ich, was ich mache, da ich damit wieder auf die gleichmäßige Konvergenz auf  $B_{2}$ komme, trotzdem weiß ich nicht warum ich dass so nicht machen darf.
Ich habe doch jetzt die Umformungen bis zu $\frac{1}{|x|^{k}}$ gemacht, damit ich da jetzt meine Umgebeungen einsetzten kann.
Ich hätte das jetzt für $B_{2}$ und $B_{3}$ so gemacht:
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{(1+2^{-k})^{k}}=0$
$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{(1+3^{-k})^{k}}=0$
Aber ich glaube damit treffe ich mal wieder nicht den springenden Punkt eurer Rückfragen...

Du hast hier den Sinn des Tipps von ochen missverstanden. Die Basis 2 im Term \(1+2^{-k}\) hat mit \(j=2\) nichts zu tun. Du könnntest genausogut den Term \(1+157^{-k}\) verwenden. Es geht darum, sich von oben her dem Rand \(|x|=1\) zu nähern und dabei zu untersuchen, was für \(k\to\infty\) passiert.

Grob gesprochen ist es so, dass du bei den beiden Umgebungen \(B_2\) und \(B_1\) auf unterschiedliche Art und Weise mit den Unstetigkeitsstellen der Grenzfunktion Probleme bekommst, was die gleichmäßige Konvergenz angeht. Diese Unstetigkeit verhindert in beiden Fällen, dass die Funktionenfolge überall gegen die Grenzfunktion konvergiert.

Und das gilt es, herauszuarbeiten. Das war der Sinn des Tipps von ochen, und er bezieht sich ausschließlich auf den Fall \(j=2\).


Gruß, Diophant
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daenerystargaryen
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Hallo und danke nochmal,
ich denke, dass es mir jetzt schon um einieges klarer geworden ist. Könnte ich so vorgehen:

1. Anhand der Grenzfunktion abschätzen, ob die Umgebungen der Kugel mit den Unstetigkeitsstellen kollidieren. Das wäre bei $B_{2}$ und $B_{1}$ der Fall, bei $B_{3}$ und generell bei j>=3 wäre das nicht mehr möglich, weshalb man hier eigentlich schon automatisch sagen kann, dass gleichmäßige Konvergenz vorliegt (muss man aber noch, bspw. mit der Umformumg aus 28 zeigen muss)

2. Bei den Kugeln bei denen man Probleme mit den Unstetigkeitsstellen sind, muss man vorher untersuchen, ob der Limes Superior des Supremums überhaupt Null sein kann:
$$sup\left|f_k(x)-f(x)\right| = sup\left|f_k(x)\right| =sup\frac{1+(1+2^{-k})^{k}}{2+(1+2^{-k})^{2k}}=\frac{2}{3}$$
Aber jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass Supremum dann ja, egal mit welchen Werten, also egal welcher Stelle ich mich annähere immer 2/3 entsprechen würde, was ja auch irgendwie nicht sein kann, denn dann wäre ja $B_{3}$ nicht gleichmäßig konvergent.
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Hallo,

nein, auch das ist wieder falsch. Du setzt in deinen ganzen Überlegungen stets \(f(x)=0\) voraus. Das gilt aber nur für \(|x|>1\). Also kann man in den Fällen \(j=1\) und \(j=2\) in dem Ausdruck

\[\limsup_{k\to\infty}\left|f_k(x)-f(x)\right|\]
nicht einfach die Grenzfunktion \(f(x)\) unter den Tisch fallen lassen.
 
Bleiben wir bei der Folge \(x_k=1+2^{-k}\). Gegen welchen Wert konvergiert diese Folge? Welchen Wert nimmt dort die Grenzfunktion an? Wie groß ist dann der Limsup über dem Gebiet \(B_2\)?


Gruß, Diophant

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daenerystargaryen
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Hallo und danke,
ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass $f(x) = lim_{k ->inf}f_k(x)$ gilt und  die Grenzfunktion somit immer 0 wäre.

Aber zu deiner Frage, die Folge konvergiert gegen 1 und die Grenzfunktion würde dann den Wert 2/3 annhemen und der limsup wäre ungleich 0.
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