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Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylorreihe über Partialbruchzerlegung und Summenformel der geometrischen Reihe
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Universität/Hochschule J Taylorreihe über Partialbruchzerlegung und Summenformel der geometrischen Reihe
benjobutton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-06


Hallo liebe Leute,

folgende Aufgabe:

a) Zerlegen Sie die folgende rationale Funktion in Partialbrüche fed-Code einblenden

Das wäre dann: fed-Code einblenden

So weit so gut!

b)Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f aus a) um x=0
Hinweis: Verwenden Sie a) und die Summenformel der geometrischen Reihe

Und da hört es bei mir dann leider auf. Also ich weiß was Taylorreihe und geometrische Reihe sind, aber ich verstehe nicht, wie ich weiter verfahren soll...
vielleicht kann mir hier jemand helfen!

Liebe Grüße,
Ben



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo benjobutton,

schreibe $\frac{2}{x+1}=2\frac{1}{1-(-x)}$. Den Term $\frac{1}{1-(-x)}$ kannst du dann direkt als geometrische Reihe schreiben, und damit steht die Taylorreihe schon fast fertig da.
Der Term $\frac{3}{(1+x)^2}$ ist etwas schwieriger. Nutze dafür die Tatsache, dass $\frac{-1}{(1+x)^2}=\frac{\d}{\d x}\frac{1}{1+x}$ ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Deine Partialbruchzerlegung ist richtig. Dies nur der Form halber, denn das war dir selbst ja auch klar.

Nun zu deiner eigentlichen Frage. Für \(|x|<1\) haben wir ja bekanntlich

\[\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}\]
Wenn du jetzt noch \(x=-(-x)\) beachtest und weiterhin die Tatsache, dass \(\left(\frac{1}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}\), dann kannst du dir daraus die Taylorreihe um den Punkt x=0 'basteln'.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Taylorentwicklungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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benjobutton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07


Also erstmal vielen Dank für eure Antworten, damit hätte ich nicht so schnell gerechnet!
Am Anfang wusste ich ehrlich gesagt auch nicht wirklich was damit anzufangen, um ehrlich zu sein, habe mich aber nochmal genauer informiert, weil ich da Aufgabe ja an sich selber lösen muss!
Wenn ich alles richtig verstanden habe, dann habe ich ja jetzt zwei geometrische Summenformeln:
fed-Code einblenden
und nach "aufleiten"
fed-Code einblenden

Wenn man dann beide Funktionen wiederum ableitet, erkennt man, dass sie mit jeder weiteren Ableitung folgende Form annehmen:
fed-Code einblenden
aber mit entsprechenden Koeffizienten 2 und -3.
Dann entwickelt man diese Summenformeln in der Taylorreihe um x=0 und sieht, dass nun da steht:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Anschließend kann man die Summen noch zusammenführen und es steht da als Ergebnis:
fed-Code einblenden

Ich hoffe, dass es zumindest ansatzweise richtig ist, das wäre somit mein größter mathematischer Erfolg bisher :D
ganz liebe Grüße und danke nochmal für die gute Hilfe!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

das ist leider noch nicht richtig. Die Idee, zuerst zu integrieren (das Unwort "aufleiten" verwenden wir hier nach Möglichkeit nicht...), in eine Reihe zu entwickeln und dann wieder abzuleiten, diese Idee ist schon richtig. Allerdings nur für den zweiten Summanden.

Für den ersten Summanden bekommt man ja einfach

\[\frac{2}{1+x}=2\cdot\frac{1}{1-(-x)}=2\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n\]
Für den zweiten Summanden gehe so vor:

- integriere zunächst
- entwickle das Integral in eine geometrische Reihe
- leite diese wieder ab
- führe eine Indexverschiebung durch, damit die Reihe wieder bei \(n=0\) startet
- addiere beide Reihen
- poste dein Ergebnis zur Kontrolle hier. 🙂


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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benjobutton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07


Hallo Diophant, danke nochmal für deine Antwort.

Okay ich stehe ehrlich gesagt ein bisschen auf dem Schlauch. Ich habe jetzt zwei geometrische Reihen:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Und blöde Frage, aber wie summiert man Summen mit Koeffizienten?
Und was hat diese Summe dann mit meiner Taylorreihe zu tun?

Liebe Grüße



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-07-07 12:45 - benjobutton in Beitrag No. 5 schreibt:
Okay ich stehe ehrlich gesagt ein bisschen auf dem Schlauch. Ich habe jetzt zwei geometrische Reihen:
fed-Code einblenden

Die ist schonmal falsch. Siehe dazu meinen vorigen Beitrag.

2020-07-07 12:45 - benjobutton in Beitrag No. 5 schreibt:
und
fed-Code einblenden

Auch falsch. In beiden Fällen stimmen die Reihenglieder, es muss jedoch jeweils von \(0\) bis \(\infty\) summiert werden. Das sind doch geometrische Reihen!

2020-07-07 12:45 - benjobutton in Beitrag No. 5 schreibt:
, welche ich ableiten muss zu (Ich denke):
fed-Code einblenden

Auch hier wieder: richtig abgeleitet. Aber nach wie vor muss bis \(\infty\) summiert werden.

Jetzt mache dir klar, warum bei der Ableitung die Summe in der Tat zunächst bei \(k=1\) startet. Das hat etwas mit einer ziemlich elementaren Ableitungsregel zu tun...
 
2020-07-07 12:45 - benjobutton in Beitrag No. 5 schreibt:
Das Prinzip der Indexverschiebungen verstehe ich, allerdings bin ich mir relativ unsicher, wann ich bei k=0 und wann bei k=1 starte.

Das legst ja du nicht fest, sondern die Reihe, die du betrachtest. Und die geometrische Reihe startet eben mit dem Index Null.

2020-07-07 12:45 - benjobutton in Beitrag No. 5 schreibt:
Hast du einen Tipp oder kennst du eine Website bzw. ein Video oder sonst was, was mir das anschaulich erklärt?

Wie wäre es mit einem handelsüblichen Analysis 1-Lehrbuch?

2020-07-07 12:45 - benjobutton in Beitrag No. 5 schreibt:
Und blöde Frage, aber wie summiert man Summen mit Koeffizienten?

Ganz einfach. Für konvergente Reihen gilt

\[\sum_{k=k_0}^\infty a_k+\sum_{k=k_0}^\infty b_k=\sum_{k=k_0}^\infty (a_k+b_k)\]
2020-07-07 12:45 - benjobutton in Beitrag No. 5 schreibt:
Und was hat diese Summe dann mit meiner Taylorreihe zu tun?

Sie ist deine Taylorreihe.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07


Okay danke!
Ja klar, mit der geometrischen Reihe geht der Spaß natürlich von 0 bis unendlich, das habe ich verschludert.
Also wenn ich
fed-Code einblenden

für k=0 ausrechne, ist der erste Summand der Reihe 0, weshalb die Reihe bei k=1 anfängt. Durch die Indexverschiebung folgt:

  fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

und durch Addition der beiden Summen:

fed-Code einblenden

Und das ist dann meine Taylorreihe? Ich dachte, dass eine Taylorreihe eben folgende Form hat:

fed-Code einblenden

könntest du mir Dummkopf ansatzweise erklären, inwieweit das zusammenhängt? Und ja, ich mach mich gleich auf den Weg in die Stadt und hole mir ein Buch für die Basics. Da ist noch eine Menge woran ich zu arbeiten habe, damit das was mit Mathe 1 wird...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-07-07 13:40 - benjobutton in Beitrag No. 7 schreibt:
Okay danke!
Ja klar, mit der geometrischen Reihe geht der Spaß natürlich von 0 bis unendlich, das habe ich verschludert.
Also wenn ich
fed-Code einblenden

für k=0 ausrechne, ist der erste Summand der Reihe 0, weshalb die Reihe bei k=1 anfängt. Durch die Indexverschiebung folgt:

fed-Code einblenden

und durch Addition der beiden Summen:

fed-Code einblenden

Und das ist dann meine Taylorreihe?

Ja, das Ergebnis passt. Man kann aber den Koeffizienten noch vereinfachen zu \(2-3(k+1)=-1-3k=-(1+3k)\).

2020-07-07 13:40 - benjobutton in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich dachte, dass eine Taylorreihe eben folgende Form hat:

fed-Code einblenden

könntest du mir Dummkopf ansatzweise erklären, inwieweit das zusammenhängt? Und ja, ich mach mich gleich auf den Weg in die Stadt und hole mir ein Buch für die Basics. Da ist noch eine Menge woran ich zu arbeiten habe, damit das was mit Mathe 1 wird...

Rechne es nach, indem du einige Ableitungen der Funktion berechnest und diese auf die Definition der Talyorreihe anwendest.

Wenn das Fach bei dir (so verstehe ich das jetzt mal) sinngemäß Höhere Mathematik 1 oder so ähnlich heißt, dann ist ein Ana-1-Lehrbuch vielleicht doch etwas 'oversized'. Da gibt es ja auch solche Sammelwerke der Höheren Mathematik, mit so etwas bist du dann vermutlich besser bedient. Ok, wenn du ganz klassisch in den Buchladen gehst, dann hat das i.d.R. den Vorteil, dass du vor dem Kauf mal etwas darin herumblättern kannst.

Wenn du irgendwo bist, wo man solche Bücher in Geschäften vorrätig hat, dann gibt es an solchen Orten ja auch meist noch die eine oder andere Leihbibliothek?...



Gruß, Diophant
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Puh, okay cool! Dann haben wir es doch noch zusammen gewuppt bekommen! Tausend Dank für deine Hilfe!
Und ja hier gibt es auch Bibliotheken, welche aber zuletzt auf Grund von Covid allesamt geschlossen hatten. Da werde ich mich mal informieren, ob und wie eine Ausleihe funktioniert!

Liebe Grüße,
Ben



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