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Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » Parameterform in ganzen Zahlen
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Schule J Parameterform in ganzen Zahlen
Andreas88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-06


Sehr geehrte Damen und Herren,

ich stelle mir die Frage, ob ich immer eine beliebige Gleichung einer Geraden in Parameterform (rationale Zahlen) in eine Darstellung (Parameterform) nur mit ganzen Zahlen umwandeln kann. Ich habe mir ein Beispiel erstellt, und kann es nicht so umrechnen, dass nur die ganzen Zahlen entstehen:

\(\overset{\rightharpoonup }{x}=t \left(
\begin{array}{c}
 \frac{1}{3} \\
 \frac{1}{8} \\
 \frac{1}{12} \\
\end{array}
\right)+\left(
\begin{array}{c}
 \frac{3}{7} \\
 \frac{8}{9} \\
 \frac{2}{11} \\
\end{array}
\right)\)

Richtungsvektor der Geraden kann man ja einfach in einen mit ganzen Zahlen umwandeln, aber das andere?

Ich denke, dass es nicht geht:

Richtungsvektor: \(t \left(
\begin{array}{c}
 8 \\
 3 \\
 2 \\
\end{array}
\right)\)

Es müsste so ein t gefunden werden, dass alle drei Gleichungen für denselben t die Zahl 693 ergeben sollten:

\(\left\{\left(
\begin{array}{c}
 8 t+\frac{3}{7}=693 \\
 3 t+\frac{8}{9}=693 \\
 2 t+\frac{2}{11}=693 \\
\end{array}
\right)\right.\)

Und so ein t gibt es nicht.

Also, ist es diese Gleichung der Geraden in Parameterform nur in ganzen Zahlen nicht möglich darzustellen?

Oder übersehe ich noch irgendwas?

Mit freundlichen Grüßen
Andreas



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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-06


Hallo

Ich weiß nicht, wie du auf 693 kommst, aber ich komme darauf, dass eine Drastellung nur mit ganzen Zahlen nicht möglich sein.

Gruß Caban



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Andreas88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07


Hallo,

mit derselben Idee, wie beim Richtungsvektor: kleinstes gemeinsames Vielfaches.

\(\left\{\frac{1}{7} (56 t+3)=693,\frac{1}{9} (27 t+8)=693,\frac{1}{11} (22 t+2)=693\right\}\)



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-07


Ein einfacheres Gegenbeispiel erhält man, wenn man einzelne Komponenten des Richtungsvektors auf $0$ und die entsprechende Komponente des Stützvektors auf einen gebrochenen Wert setzt.

Bspw. $\vec{x} = (\frac{1}{2},0,0)^T + r \cdot (0,1,0)^T$

Hier ist unmittelbar einsichtig, dass es keine Darstellung ohne gebrochene Zahlen geben kann.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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