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Universität/Hochschule J Kartenhand
Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
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Aus: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-09


\(\textbf{Aufgabe:}\)
Auf wie viele Arten kann man eine Pokerhand (5 Karten) aus einem Pokerdeck (52 Karten) auswählen, sodass jede Farbe (Pik, Kreuz, Karo, Herz) auf der Kartenhand vertreten ist?


\(\textbf{Mein Lösungsvorschlag:}\)
Sei $x$ die Anzahl Auswahlmöglichkeiten, die gesucht wird.

Da vier von fünf Karten verschiedene Farben besitzen sollen und jede Farbe $\frac{52}{4}=13$ Karten beinhaltet, gibt es
- $\binom{52}{13}$ Möglichkeiten, 1 Karte einer Farbe zu ziehen;
- $\binom{52-13}{13}$ Möglichkeiten, für die zweite Handkarte eine andere Farbe zu ziehen;
- $\binom{52-2 \cdot 13}{13}$ Möglichkeiten, für die dritte Handkarte erneut eine von den ersten beiden verschiedene Farbe zu ziehen;
- $\binom{52-3 \cdot 13}{13}$ Möglichkeiten, für die vierte Handkarte die letzte Farbe zu ziehen;
- $\binom{52-4}{1} = 48 $ Möglichkeiten, für die fünfte Handkarte irgendeine der verbleibenden 48 Karten zu ziehen.
- 5 mögliche Positionen der farblich nicht eingeschränkten Karte auf der Kartenhand.

Die Möglichkeiten sind abhängig voneinander, also ist $x$ deren Produkt:
\[
\begin{align*}
    x
    &= \binom{52}{13}\binom{52-13}{13}\binom{52-2\cdot13}{13}\binom{52-3\cdot13}{13}\binom{52-4}{1} \cdot 5 \\
    &= \binom{52}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13}\binom{13}{13}\binom{48}{1} \cdot 5 \\
    &= \frac{52!}{13! \cdot 39!} \cdot \frac{39!}{13! \cdot 26!} \cdot \frac{26!}{13! \cdot 13!} \cdot 1 \cdot 48 \cdot 5 \\
    &= \frac{52!}{(13!)^4} \cdot 48 \cdot 5 \\
    &= 12\,874\,737\,063\,717\,310\,281\,416\,985\,600\,000 \text{ Möglichkeiten}.
\end{align*}
\]
Stimmt mein Kalkül und gibt es Wege, diese Berechnung prägnanter zu formulieren? Danke im Voraus. LG Philippe.



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JoeM
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Mitteilungen: 622
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-09


Hallo Phoensie,

ich meine, in der Lösung sollte  u.a. ...

enthalten sein.

mfG. JoeM



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-09


Hallo Phoensie,

es gibt ja insesamt nur \(\binom{52}5=2598960\) verschiedene Pokerhände. Die gesuchte Anzahl muss auf jeden Fall kleiner sein.



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-09


Hallo Phoensie,

zusätzlich zum bisher gesagten: du denkst hier meiner Ansicht nach viel zu kompliziert.

Da die Reihenfolge ja keine Rolle spielt, kann man sich einfach gedanklich vorstellen, die betreffenden 5 Karten einzeln hintereinander zu ziehen. Dabei legt man zunächst eine Reihenfolge für die gezogenen Farben fest. Etwa: Herz, Karo, Pik, Kreuz, beliebig. Und dann zählt man jeweils die Möglichkeiten und multipliziert.

Danach wären in gut der Hälfte der Fälle alle vier Farben in der Pokerhand vertreten.

EDIT: das stimmt so noch nicht ganz, weil auf diese Weise alle Möglichkeiten doppelt gezählt werden. Man muss also am Ende noch durch 2 dividieren. Siehe dazu die folgenden Beiträge von StrgAltEntf.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Stochastik und Statistik' in Forum 'Kombinatorik & Graphentheorie' von Diophant]



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-09


2020-07-09 09:36 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Und dann zählt man jeweils die Möglichkeiten und multiplizert.

Schließlich müsste wohl noch durch 2 geteilt werden, womit wir bei 26,4 % wären.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-09


@StrgAltEntf:
2020-07-09 11:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 4 schreibt:
Schließlich müsste wohl noch durch 2 geteilt werden, womit wir bei 26,4 % wären.

Hm, die Notwendigkeit dafür sehe ich gerade nicht. Könntest du das noch kurz begründen?


Gruß, Diophant



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-09


2020-07-09 11:09 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Hm, die Notwendigkeit dafür sehe ich gerade nicht. Könntest du das noch kurz begründen?

Du zählst alle Möglichkeiten doppelt. Z. B. als erste Karte Herz Ass und als letzte Karte Herz 8 - und umgekehrt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-09


2020-07-09 11:34 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:
Du zählst alle Möglichkeiten doppelt. Z. B. als erste Karte Herz Ass und als letzte Karte Herz 8 - und umgekehrt.

Ja, jetzt wird es mir auch klar. Danke für den Einwand, ich stelle es oben mal noch richtig.


Gruß, Diophant



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-09


Huhu,

ich komme auch auf das Ergebnis von StrgAltEntf. Wenn alle Farben einmal vorkommen müssen, kommt genau eine Farbe doppelt vor. Ziehen wir also 2 Karten aus 13 und haben 4 Farben zur Auswahl macht das \(4\cdot \binom{13}{2}\) Möglichkeiten. Anschließend haben wir noch für die letzten 3 freien Plätze jeweils 13 Möglichkeiten.

@Phoensie:

2020-07-09 00:39 - Phoensie im Themenstart schreibt:
- $\binom{52}{13}$ Möglichkeiten, 1 Karte einer Farbe zu ziehen;

Das verstehe ich überhaupt nicht. Hast du das mal ausgerechnet?

Gruß,

Küstenkind

edit: PS: Wenn du nochmal üben möchtest:



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13


Hallo miteinander

Danke vielmals für das konstruktive Feedback. Da hab' ich wohl echt viel zu weit gedacht. Der Ansatz von Kuestenkind hat mir den "Knoten" gelöst - ich komme mit erneutem Nachrechnen auf ein Resultat von 685464 Möglichkeiten (etwa 26% aller möglichen Pokerhände).

Die zuletzt angehängten Übungsaufgaben werde ich mir morgen früh genauer ansehen; denke mal die kann ich gut gebrauchen. Ich melde mich, sollten dazu Fragen auftauchen. Danke nochmals!😁👍



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