Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Bedingte Wahrscheinlichkeit, Sprachanteil einer Bevölkerung
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Bedingte Wahrscheinlichkeit, Sprachanteil einer Bevölkerung
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 65
Aus: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-09 10:31


\(\textbf{Aufgabe:}\)
Die Bevölkerung von Nikosia (Hauptstadt von Zypern) besteht aus 75% Griechen und 25% Türken. 20% der Griechen sowie 10% der Türken sprechen Englisch. Ein Tourist begegnet einem Einwohner der Stadt, der Englisch spricht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser ein Grieche?

Es wird davon ausgegangen, dass keine weiteren Touristen in Nikosia "hausen" und der Tourist selbst ist für die Berechnung nicht miteinzuschliessen.


\(\textbf{Lösungsansatz:}\)
Definiere die Ereignisse
\[
\begin{align*}
    G &:= \text{Person ist Grieche}, \\
    \overline{G} &:= \text{Person ist nicht Grieche} = \text{Person ist Türke}, \\
    E &:= \text{Person spricht Englisch},
\end{align*}
\] womit die Aufgabenstellung folgende Wahrscheinlichkeiten stellt:
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(G) = \frac{3}{4}
    \quad,\quad
    \mathbb{P}(\overline{G}) = \frac{1}{4}
    \quad,\quad
    \mathbb{P}(G \cap E) = \frac{1}{5}
    \quad,\quad
    \mathbb{P}(\overline{G} \cap E) = \frac{1}{10}.
\end{align*}
\] Ebenso kann man daraus den Anteil der englischsprechenden Bevölkerung ausrechnen:
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(E)
    = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{10}
    = \frac{7}{40}.
\end{align*}
\] Gesucht ist "\(G\) unter Voraussetzung \(E\)", also
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(G|E)
    = \frac{\mathbb{P}(G \cap E)}{\mathbb{P}(E)}
    = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{40}}
    = \frac{8}{7},
\end{align*}
\]
was aber im Widerspruch zum zweiten Axiom von Kolmogorov (\( \mathbb{P}(G|E) \in [0;1]\)) steht!

Kann mir jemand meine Fehlüberlegung entwirren? Ich habe vermutlich die vier Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung falsch in Variabeln gefasst...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 65
Aus: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09 10:38


Habe einen Fehler entdeckt:
Neue Version:

Beginne mit
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(G) = \frac{3}{4}
    \quad,\quad
    \mathbb{P}(\overline{G}) = \frac{1}{4}
    \quad,\quad
    \mathbb{P}(G \cap E) = \frac{\mathbb{P}(G)}{5} = \frac{3}{20}
    \quad,\quad
    \mathbb{P}(\overline{G} \cap E) = \frac{\mathbb{P}(\overline{G})}{10} = \frac{1}{40}.
\end{align*}
\] und berechne dann den Anteil der englischsprechenden Bevölkerung wiefolgt:
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(E)
    = \mathbb{P}(G\cap E) + \mathbb{P}(\overline{G}\cap E)
    = \frac{3}{20} + \frac{1}{40}
    = \frac{7}{40}.
\end{align*}
\] Gesucht ist
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(G|E)
    = \frac{\mathbb{P}(G \cap E)}{\mathbb{P}(E)}
    = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{7}{40}}
    = \frac{6}{7}.
\end{align*}
\]
Stimmt das so? Ich habe so meine Mühe mit bedingter Wahrscheinlichkeit...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4360
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-09 10:50

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

die zweite Version stimmt. Der Fehler lag - wie du selbst richtig erkannt hast - an der zunächst falschen Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge \(G\cap E\). Wenn 75% der Bevölkerung Griechen sind und von diesen 75% 20% Englisch sprechen, dann sind das natürlich \(0.75\cdot 0.2=0.15=\frac{3}{20}\) der Gesamtbevölkerung.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]