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Universität/Hochschule J Häufungspunkt einer Folge
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo zusammen,

Bei uns in der Vorlesung wurde der Begriff vom Häufungspunkt $A$ einer Folge folgendermassen definiert:

$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$

Diese Definition ist mir leider nicht ganz klar. Die analoge Definition zum Grenzwert einer Folge habe ich verstanden und dies leuchtet mir ein. Hier habe ich jedoch so meine Probleme. Ich habe mir gerade überlegt, ob nicht einfach die folgende Definition für einen Häufungspunkt reichen würde:

$\forall \varepsilon >0\exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$

Was genau würde dann bei dieser Definition fehlen?

Vielen lieben Dank für eure Hilfe😃
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-09


2020-07-09 11:12 - Sandrob im Themenstart schreibt:
Was genau würde dann bei dieser Definition fehlen?

Jedes Element der Folge wäre automatisch ein Häufungspunkt.

[In deiner ersten Definition fehlt übrigens der Zusammenhang zwischen $n$ und $N$.]

--zippy



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-09


Hallo,


$\forall \varepsilon >0\exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$

Was genau würde dann bei dieser Definition fehlen?

Nun, was sagt diese Definition denn anschaulich?
Kannst du mit dieser Definition eine Folge angeben, die einen 'Häufungspunkt' hat, der offensichtlich keiner ist?

Also was muss nach dieser Definition gelten, damit ein Punkt ein Häufungspunkt ist?


Bei uns in der Vorlesung wurde der Begriff vom Häufungspunkt $A$ einer Folge folgendermassen definiert:

$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$

Hmm, schau nochmal in die Vorlesung, wie es definiert wurde.
Diese Definition macht nämlich keinen Sinn.

Was ist denn mit dem $N$? Dieses wird in der Definition eingeführt, aber nie weiter benutzt. Das ist immer ein schlechtes Zeichen.



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Danke vielmals für eure schnelle Antworten!

Bei der Definition für einen Häufungspunkt aus meinen Vorlesungsnotizen ist mir natürlich ein dummer Fehler passiert. Die richtige Definition sieht wie folgt aus:
$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :n\geq N \Rightarrow d(x_n,A)<\varepsilon$

Nun verstehe ich jedoch noch nicht ganz, warum nach meiner "erfundenen Definition" denn jedes Folgenglied automatisch ein Häufungspunkt wäre?
Nehmen wir z.B. die Folge $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ mit $a_n=n$. Dann können wir doch z.B. $\varepsilon = 0.5$ wählen und finden dazu kein anderes Folgenglied $x_n$, welches die Definition eines Häufungspunktes erfüllt?
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-09


2020-07-09 12:29 - Sandrob in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann können wir doch z.B. $\varepsilon = 0.5$ wählen und finden dazu kein anderes Folgenglied $x_n$, welches die Definition eines Häufungspunktes erfüllt?

Zu einem Folgenglied $x_n$ erfüllt der Index $n$ für jedes $\varepsilon$ die Forderung deiner Definition.



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hmmm, sorry da stehe ich wohl noch ein bisschen auf der Leitung. Ich versuche meine Überlegungen noch zu konkretisieren:

Nehmen wir an, dass eine Teilfolge $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ gegen den Häufungspunkt $A$ konvergiert. $\forall \varepsilon >0\exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$. Diese Definition würde doch jetzt den Häufungspunkt charakterisieren?

Dabei wäre aber z.B. ein anderer willkürlicher Punkt doch nicht automatisch ein Häufungspunkt, denn es gibt vielleicht genug kleine Epsilons, dass man dazwischen kein Folgenglied mehr finden kann?

Wisst ihr was ich meine oder habe ich noch mehr Verwirrung gestiftet😄?
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-09


2020-07-09 13:17 - Sandrob in Beitrag No. 5 schreibt:
$\forall \varepsilon >0\exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$. Diese Definition würde doch jetzt den Häufungspunkt charakterisieren?

Ich halte mich mal nur daran, was du hier hingeschrieben hast:
1. Nimm als $A$ irgendein Folgeglied, also $A=a_k$.
2. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon>0$ ein passendes $n$, nämlich $n=k$.
3. Also ist nach deiner Definition $A=x_k$ ein Häufungspunkt.

Das willst du aber nicht. Also musst du deine Definition ändern.



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Stimmt, mit deinem Beispiel leuchtet es mir nun ein, dass meine Definition keinen Sinn machen kann. Denn dann könnten ja wirklich auch konkrete Folgenglieder, bzw. jedes davon, einen Häufungspunkt bilden und das wollen wir natürlich nicht😁.

Was genau bessert denn der Einschub von dem $\forall N\in \mathbb{N}$ in der korrekten Definition noch genau aus?
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-09


2020-07-09 14:20 - Sandrob in Beitrag No. 7 schreibt:
Was genau bessert denn der Einschub von dem $\forall N\in \mathbb{N}$ in der korrekten Definition noch genau aus?

Gar nichts, aber ich hatte doch schon gesagt, da fehlt noch was:

2020-07-09 11:20 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
[In deiner ersten Definition fehlt übrigens der Zusammenhang zwischen $n$ und $N$.]



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Sorry, das war wohl ein Missverständnis. Ich habe mehr gemeint, dass wenn wir zuerst meine falsche Definition $\forall \varepsilon >0\exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$ nehmen und dann noch ein $\forall N\in \mathbb{N}$ dazwischen schreiben und dann das Folgende haben:

$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :n\geq N \Rightarrow d(x_n,A)<\varepsilon$. Also was genau bringt das denn jetzt, dass wir verlangen, dass für alle $N\in \mathbb{N}$ ein $n$ existieren muss?

Weisst du was ich meine, sorry für die Verwirrung🙃?
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-07-09


2020-07-09 14:37 - Sandrob in Beitrag No. 9 schreibt:
$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :\color{red}{n\geq N}\Rightarrow d(x_n,A)<\varepsilon$.

Dieses rote Fragment hatte ich hiermit gemeint:

2020-07-09 11:20 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
[In deiner ersten Definition fehlt übrigens der Zusammenhang zwischen $n$ und $N$.]

Im Gegensatz zu deiner zweiten Definition, sagt diese erweiterte erste: Es genügt nicht, dass ein einziges Folgeglied $A$ hinreichend nahe kommt, sondern so ein Folgeglied muss es in jeder "Restfolge" $(a_N, a_{N+1}, \ldots)$ geben.

Hieraus folgen dann die üblichen Eigenschaften eines Häufungspunktes:
* Es gibt zu jedem $\varepsilon>0$ unendlich viele Folgeglieder, die $A$ hinreichend nahe kommen.
* Es gibt eine Teilfolge, die gegen $A$ konvergiert.



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Sandrob
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Jetzt sehe ich langsam Licht am Ende vom Tunnel, danke dir!😁

Ich verstehe nun, warum meine Definition völliger Schwachsinn ist und warum es wichtig ist, dass der rot markierte Teil in der Definition vorkommt:

$\forall \varepsilon >0\color{red}{\forall N\in \mathbb{N}} \exists n\in \mathbb{N} :n\geq N\Rightarrow d(x_n,A)<\varepsilon$

Ich sehe, dass jetzt im Unterschied zur Definition eines Grenzwertes die letzten beiden Quantoren vertauscht sind. Bei einem Grenzwert müssen alle (bis auf endlich viele) Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung Platz haben und bei einem Häufungspunkt "nur" unendlich viele und es können auch noch unendlich viele ausserhalb sein.

Danke dir nochmals!
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Entschuldigt bitte, dass ich mich kurz einmische.

2020-07-09 18:08 - Sandrob in Beitrag No. 11 schreibt:
$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :n\geq N\color{red}{\Rightarrow} d(x_n,A)<\varepsilon$

Aber es muss doch heißen
$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :n\geq N\color{red}{\wedge} d(x_n,A)<\varepsilon$



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zippy
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2020-07-09 22:42 - StrgAltEntf in Beitrag No. 12 schreibt:
Aber es muss doch heißen
$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :n\geq N\color{red}{\wedge} d(x_n,A)<\varepsilon$

Ja, völlig richtig.



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Sandrob
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
@StrgAltEntf: Vielen Dank für den Hinweis. Da hat sich wohl ein Fehler eingeschlichen. Sonst könnte man ja das $n\in \mathbb{N}$ so wählen, dass die Bedingung der Implikation nicht erfüllt ist und das wäre dann Schwachsinn😁.

Danke dir vielmals für den Hinweis!
\(\endgroup\)


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