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Universität/Hochschule Selbstfaltung
Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-09


Hey hallo,

Ihr habt sicher schon von der Faltung in der analytischen
Zahlentheorie gehört.

Ich beschäftige mich zur Zeit mit der Selbstfaltung, d.h.
ich suche $w$ zu einem $w*w=\varepsilon$ mit $\varepsilon(n)=1$

Die Werte für $w$ lassen sich rekursiv wie folgt bestimmen :

$w(1)=\sqrt{\varepsilon(1)}=1\Rightarrow w(1)=1$
$w(1)\cdot w(2)+w(2)\cdot w(1)=\varepsilon(2)=1\Rightarrow w(2)=\frac{1}{2}$
$w(1)\cdot w(3)+w(3)\cdot w(1)=\varepsilon(3)=1\Rightarrow w(3)=\frac{1}{2}$
$w(1)\cdot w(4)+w(2)\cdot w(2)+w(4)\cdot w(1)=\varepsilon(4)=1\Rightarrow w(4)=\frac{3}{8}$
$w(1)\cdot w(5)+w(5)\cdot w(1)=\varepsilon(5)=1\Rightarrow w(5)=\frac{1}{2}$
$w(1)\cdot w(6)+w(2)\cdot w(3)+w(3)\cdot w(2)+w(6)\cdot w(1)=\varepsilon(6)=1\Rightarrow w(6)=\frac{1}{4}$
$w(1)\cdot w(7)+w(7)\cdot w(1)=\varepsilon(7)=1\Rightarrow w(7)=\frac{1}{2}$
$w(1)\cdot w(8)+w(2)\cdot w(4)+w(4)\cdot w(2)+w(8)\cdot w(1)=\varepsilon(8)=1\Rightarrow w(8)=\frac{5}{16}$

$\ldots$

Es ist mit $n=p_1^{e_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{e_r}\Rightarrow w(n)=\prod_{j=1}^{r}C_{e_j}$

Die Potenz-Reihe $\sum_{m=0}^\infty \varepsilon(p^m)x^m$ zu $\varepsilon$ ist $\frac{1}{1-x}$

Daraus folgt, dass die Potenz-Reihe zu $w$ gleich $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ ist.

Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, $C_m$ in geschlossener Form zu bestimmen :

Zunächst als Maclaurin-Reihe zu der Funktion $f:=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ :
$C_m=\frac{f^{(m)}(0)}{m!}$ (durch iterierte Ableitung und Nullsetzen von $x$)
Das ergibt mit einiger Rechnung $C_m=\frac{\binom{2m}{m}}{4^m}$

Das führt auf die Rekursionsgleichung $C_{m+1}=\frac{2m+1}{2m+2}\cdot C_m$

Also ist
$C_m=\prod_{j=0}^{m-1}\frac{2j+1}{2j+2}$ oder $C_m=\prod_{j=0}^{m-1}\frac{j+\frac{1}{2}}{j+1}$

In anderen Worten $C_m=\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m+1)\Gamma(\frac{1}{2})}$
Und zu guter Letzt :

$C_m=\int_0^1 \cos(\pi t)^{2m}dt$ (mit partieller Integration)

Oder noch allgemeiner mit $a,b\in\mathbb{N}$ : $C_m=\frac{1}{b}\int_0^b \sin(\frac{a}{b}\pi t+\phi)^{2m}dt$

Anmerkung : Ich habe auch die Wurzel der Wurzel von $\varepsilon$
bestimmt. Aber dazu möchte ich erstmal noch nichts Näheres
verraten (weil ich bis jetzt noch nicht die entsprechende
binomische Form der Art $\frac{\binom{2m}{m}}{4^m}$ herausgefunden habe).

EDIT Anfang :

Anscheinend gibt es für Wurzeln der Ordnung $m>2$ keine
einfache binomische Darstellung.

Aber die allgemeine Formel für die Lösung von $w*w*\ldots *w*w=\varepsilon$
($z$-mal) nach $w$ lautet $C_{m+1}=\frac{z\cdot m+1}{z\cdot m+z}\cdot C_m$
und somit $C_m=\prod_{j=0}^{m-1}\frac{z\cdot j+1}{z\cdot j+z}=\frac{\Gamma(m+\frac{1}{z})}{\Gamma(m+1)\Gamma(\frac{1}{z})}$

Es ist $\frac{1}{\sqrt[z]{1-x}}=\sum_{m=0}^\infty C_m\cdot x^m$

Wurzel der Identität :
Wenn $Id_k(n)=n^k$ dann ist mit $n=p_1^{e_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{e_r}$ und $w*w=Id_k$ :
$w(n)=Id_k(n)\cdot\prod_{j=1}^{r}C_{e_j}$

Ein Spezialfall ist (siehe oben) $Id_0=\varepsilon\Rightarrow w(n)=\prod_{j=1}^{r}C_{e_j}$

Was meint Ihr dazu - so rein mathematisch gesehen?

Gruß
Taxi1729

EDIT Ende



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