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Analysis » Grenzwerte » Satz von de l'Hospital
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Universität/Hochschule Satz von de l'Hospital
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-10


Hallo zusammen!

Im Forster gibt es folgenden nicht bewiesenen Sachverhalt über die Regeln von l'Hospital:
Seien $f,g: I \to \mathbb{R}$ zwei differenzierbare Funktionen auf dem Intervall $I = ]a,b[$. Es gelte $g'(x) \neq 0$ für alle $x \in I$ und es existiere der Limes

$\lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} =: c \in \mathbb{R}$.

Falls $\lim_{x \nearrow b} g(x) = \lim_{x \nearrow b} f(x) = 0$, ist $g(x) \neq 0$ für alle $x \in I$ und es gilt

$\lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)}= c$.

Es heißt, der Satz wird bewiesen unter Zuhilfenahme eines vorangegangenen Lemmas: Sei $f: ]0, a[ \to \mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion mit $\lim_{x \searrow 0} f(x) = 0$ und $\lim_{x \searrow 0} f'(x):= c \in \mathbb{R}$
Dann gilt $\lim_{x \searrow 0} \frac{f(x)}{x} = c$.

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Wir stellen zunächst einmal fest, dass $g: I \to \mathbb{R}$ injektiv ist. Gäbe es nämlich zwei Punkte $x_{1} \neq x_{2}$ in I mit $g(x_{1}) = g(x_{2})$, so erhielte man mit dem Satz von Rolle eine Nullstelle von $g'$ in $I$ im Widerspruch zur Voraussetzung. Damit ist g streng monoton und g' wechselt das Vorzeichen nicht. Wegen $\lim_{x \nearrow b} g(x) = 0$ und der strengen Monotonie von g ist $g(x) \neq 0$ für alle $x \in I$.


Nehme an, dass g streng monoton fällt.
Das Bild von $I$ unter $g$ ist das Intervall $J = ]0, A[$ mit $A = \lim_{x \searrow a} g(x)$ und $0 = \lim_{x \nearrow b} g(x)$. Bezeichne nun mit $\psi:= g^{-1}: J \to I$ die Umkehrabbildung von $g$ und mit $F$ die Komposition
$F:= f \circ \psi: J \to \mathbb{R}$.

Die Ableitung von F ergibt sich mithilfe der Kettenregel und Regel über die Ableitung der Umkehrfunktion wie folgt:
$F'(y) = f'(\psi(y))\psi'(y) = \frac{f'(\psi(y))}{g'(\psi(y))}$

und mit der Voraussetzung erhalten wir

$\lim_{y \searrow 0} F'(y) = \lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c$.

Weiters ergibt sich $\lim_{y \searrow 0} F(y) = \lim_{y \searrow 0} f(\psi(y)) = \lim_{x \nearrow b} f(x) = 0$ nach Voraussetzung.

Wenden wir das Lemma an, so erhalten wir $\lim_{y \searrow 0} \frac{F(y)}{y} = c$.

Sei nun $x_{n} \in I$ eine beliebige folge mit $\lim x_{n} = b$. Setze $y_{n} := g(x_{n})$. Damit folgt $\lim y_{n} = 0$ und wir haben

$\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{n})}{g(x_{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(\psi(y_{n}))}{y_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{F(y_{n})}{y_{n}} = c$, was zu zeigen war.

Würde der Beweis bis hierhin so passen?

Dann wäre aber der Fall noch zu behandeln, dass g streng monoton wachsend ist. Dann ist $A = \lim_{x \searrow a} g(x)$ und $0 = \lim_{x \nearrow b} g(x)$ und $J = ]A, 0[$ das Intervall des Bildes unter g.

Insgesamt erhalten wir $\lim_{y \nearrow 0} F'(y) = \lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c$ sowie $\lim_{y \nearrow 0} F(y) = \lim_{x \nearrow b} f(x) = 0$.

Hier würde ich nun gerne das Lemma anwenden, aber dafür muss ja $\lim_{x \searrow 0} f(x) = 0$ sowie $\lim_{x \searrow 0} f'(x) = c$ sein, wir haben aber oben zweimal $y \nearrow 0$.

Habt ihr mir einen Tipp, wie ich weiterrechnen kann?
Wie immer wäre ich euch für jeden Ratschlag sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12


Ein kleiner „Stups“ nach oben 🙃



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