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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Unklarheit bei Definition Zeilenstufenform
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Universität/Hochschule J Unklarheit bei Definition Zeilenstufenform
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-11


Hallo zusammen

Ich verstehe etwas bei folgender Definition nicht:

- - - - - - - - - - -

Sei (L) ein lineares Gleichungssystem. Dann ist (L) in Zeilenstufenform, falls "in jeder Zeile links mehr Nullen als in der Vorgängerzeile stehen", d.h. setzen wir
  \[
  A^i_j:=
  \begin{cases}
    a^i_j,&1\le j\le n,\,1\le i\le m,\\
    b^i,&j=n+1,\,1\le i\le m,
  \end{cases}
  \]   so ist die Anzahl der "links stehenden Nullen" in Zeile
  $i$ durch
  \[N(i):=\max\left\{k\in\{0,1,\ldots,n+1\}\colon A^i_j=0\text{ für
    }1\le j\le k\right\}\] definiert und wir fordern, dass es ein
  $i_0\in\{0,\ldots,m-1\}$ gibt, so dass $N(i)<N(i+1)$ für alle
  $1\le i\le i_0$ und $N(i)=n+1$ für $i_0<i\le m$ gelten.


- - - - - - - - - - -

Zunächst einmal: Ist es so, dass im Falle $k = 0$ die Zeile keine links stehende Null enthält?

Und wieso wird gefordert, dass $N(i)=n+1$ für $i_0<i\le m$ gilt?

Bei einer Gleichungssystem der Form

$x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 1\\
\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } x_{2} + 2x_{2} = 2\\
\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }                  3x_{3} = 3$

haben wir ja gar nicht den Fall, dass ein $i_{0} \in \{0,\ldots,m-1\}$ existiert, sodass $N(i) = n+1$, sprich die Anzahl der links stehenden Nullen in irgendeiner Zeile $i > i_{0}$ insgesamt n+1 ist?

Wie immer wäre ich euch für eure Ratschläge sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-11


Hallo X3nion,

2020-07-11 01:27 - X3nion im Themenstart schreibt:
Zunächst einmal: Ist es so, dass im Falle $k = 0$ die Zeile keine links stehende Null enthält?

Im Falle \(\max\left\{k\ldots\right\}=0\) enthält die Zeile keine links stehenden Nullen. Im Falle \(k=0\) gilt nur, dass die Aussage \(\left(A^i_j=0\text{ für }1\le j\le k\right)\) als eine wahre Aussage betrachtet wird und deshalb \(\left\{k\ldots\right\}\) keine leere Menge ist.


Und wieso wird gefordert, dass $N(i)=n+1$ für $i_0<i\le m$ gilt?

Wenn ab einem \(i>i_0\) die Bedingung \(N(i)<N(i+1)\) nicht mehr erfüllt ist, soll \(N(i)=n+1\) sein, sonst könnte man die Stufenbildung noch fortsetzen. Doch das muss man anders aufschreiben, da stimme ich dir zu. Beispielsweise ginge anstelle von \(i_0<i\le m\) die Bedingung \(i_0 +1 <i\le m\).

Viele Grüße,
  Stefan



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Hallo Stefan und vielen Dank für deine Antwort!


Im Falle \(\max\left\{k\ldots\right\}=0\) enthält die Zeile keine links stehenden Nullen. Im Falle \(k=0\) gilt nur, dass die Aussage \(\left(A^i_j=0\text{ für }1\le j\le k\right)\) als eine wahre Aussage betrachtet wird und deshalb \(\left\{k\ldots\right\}\) keine leere Menge ist.

Das erste mit \(\max\left\{k\ldots\right\}=0\) ergibt Sinn.
Aber das Zweite verstehe ich nicht. Wieso ist die Aussage \(\left(A^i_j=0\text{ für }1\le j\le k\right)\) im Falle $k = 0$ wahr?
Aus $1 \le j \le 0$ würde ja $1 \le 0$ folgen, würde solch ein $j$ existieren, was ja ein Widerspruchc wäre? Wieso ist die Aussage dann wahr?



Beispielsweise ginge anstelle von \(i_0<i\le m\) die Bedingung \(i_0 +1 <i\le m\).

Was wäre in meinem Beispiel mit 3 Zeilen und 4 Spalten dann das $i_{0}$? Da gilt ja für kein $1 \le i \le 3$, dass $N(i) = 4$

Viele Grüße,
X3nion



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-11


Die Menge aller j, für die \(1\le j \le 0\) gilt, ist die leere Menge. Allaussagen über die Elemente der leeren Menge sind immer richtig. In dem Fall ist das die Aussage, dass für alle j, für die \(1\le j \le 0\) gilt, auch \(A^i_j=0\) ist. So lese ich die Definition für k=0. Wenn die Zeile nicht mit einer Null beginnt, ist k=0 das einzige Element in der Menge <math>\left\{k\ldots\right\}</math>und deshalb <math>\max\left\{k\ldots\right\}=0</math>. Das kann man vielleicht auch anders definieren, ohne diese Aussage über die leere Menge zu verwenden.

In deinem Beispiel 3 Zeilen und 4 Spalten setzte ich \(i_0 = 2\). Dann gilt für alle \(i\) aus \(1\le i \le 2\) die Aussage \(N(i)<N(i+1)\), konkret \(N(1)<N(2)\) und \(N(2)<N(3)\) und der Zusatz

"Für alle i aus \(i_0 +1 <i\le m\) gilt \(N(i) = 4\)"

ist ebenfalls wahr, weil die Menge aller i aus \(i_0 +1 <i\le m\) wieder die leere Menge ist. Jetzt verwende ich auch diese Aussage über die leere Menge. Ich habe versucht, das nur so wenig wie möglich zu ändern. Kann man bestimmt ebenfalls anders definieren.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Hmm aber was machen wir im Falle, dass wir die $1x2$ Matrix $A = \left(\begin{array}{c|c} 0 & 1 \end{array}\right)$ bzw. die 1x1 Matrix $A = \left(\begin{array}{c|c} 0 & 0 \end{array}\right)$ haben?
Hier gilt $N_{B}(1) = 2$ und $N_{A}(1) = 1$.

Hier müssten wir in beiden Fällen $i_{0} = 0$ setzen, da ja $i_{0} \in \{0, ..., m-1\}$ und in diesem Fall ist $m=1$.

Das geht auch auf, denn die Bedingungen $N_{A}(1) < N_{A}(2)$ bzw. $N_{B}(1) < N_{B}(2)$ sind beide Wahr, denn die Menge aller i, für die $1 \le i \le 0$ gilt, ist die leere Menge.
 
Jetzt wäre es aber so, dass in deiner Indexbedingung $i_{0} + 1 < i  \le m$ gilt.
Bei B gilt $N_{B}(1) = 2$, in der ursprünglichen Indexbedingung wird ja gefordert, dass $N_{i} = n+1$ für $i_{0} < i \le m$ gilt, und in diesem Falle wäre dies ja erfüllt wegen $i_{0} = 0$ und für $i = 1$.

Allerdings sind bei deiner Indexbedingung die i's, für die $i_{0} + 1 < i \le 1$ gilt, wieder die leere Menge, und somit ist auch die Bedingung $N_{B}(i) = 2$ wahr, korrekt?
Und bei A haben wir $N_{A}(1) = 1$, aber aufgrund der Tatsache, dass $i_{0} + 1 < i \le m$ gilt, ist die Aussage wahr, dass $N_{A}(i) = 2$ ?

Hier komme ich etwas durcheinander, ich hoffe du verstehst, auf was ich hinaus möchte.


Viele Grüße,
X3nion



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-11


Als B habe ich die Matrix \(\left(\begin{array}{c|c} 0 & 0 \end{array}\right)\) verwendet und erhalte insgesamt auch viermal die leere Menge als Indexmenge für die i.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Okay alles klar, es ergibt nun für mich Sinn.
Vielen Dank dir! 😄

VG X3nion



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Edit: Ich hatte doch noch eine Frage:

Was wäre mit dem Gleichungssystem

$x_{1} + x_{2} = 1 \\
x_{1} \text { } \text { }\text { }\text { }\text { }\text { }\text { }\text { }\text { }=   1$

Haben wir hier auch Zeilenstufenform? Zumindest die Bedingung $N(i) < N(i+1)$ ist nicht erfüllt. Greift hier wieder das Prinzip der leeren Menge?

VG X3nion



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-11


Bei der leeren Menge wären alle Bedinungen erfüllt. Bei dem Beispiel muss aber herauskommen, dass die Bedingungen für Zeilenstufenform nicht erfüllt sind.

Gefordert wird, dass es ein \(i_0\in\{0,\ldots,m-1\}\) gibt, so dass

- für alle \(i\) in \(1\le i\le i_0\) gilt \(N(i)<N(i+1)\),
- für alle \(i\) in \(i_0 + 1 <i \le m\) gilt \(N(i)=n+1\).

Wegen \(m=n=2\) kann \(i_0\) nur \(0\) oder \(1\) sein.

\(i_0=0\) geht nicht, weil bei \(i=2\) die Bedingung \(N(i)=n+1\) nicht erfüllt ist,

\(i_0=1\) geht nicht, weil bei \(i=1\) die Bedingung \(N(i)<N(i+1)\) nicht erfüllt ist.

Bei der Begründung, dass keine Zeilenstufenform vorliegt, muss man alle möglichen \(i_0\) durchgehen, dass wirklich nicht die weiteren Bedingungen erfüllt sind.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Hmm aber es gibt ja einen Satz, der besagt, dass jedes LGS sich durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringen lässt. Dies wäre ja aber ein Gegenbeispiel, oder sehe ich  das falsch?

Also wenn ich das LGS

$x_{1} + x_{2} = 1 \\
2x_{1} + x_{2} = 2$,

betrachte, das führt ja auf das obige?

VG X3nion



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-07-11


Gegenbeispiel zu welcher Behauptung?

Das LGS

\(\begin{array}{ccccc}
x_{1}  &+& x_{2} &=& 1 \\
2x_{1} &+& x_{2} &=& 2
\end{array}\)

lässt sich durch eine elementare Zeilenumformung (II'=II-I) in die obige Form

\(\begin{array}{ccccc}
x_{1} &+& x_{2} &=& 1 \\
x_{1} & &       &=&   1
\end{array}\)

bringen, das ist keine Zeilenstufenform. Durch eine andere elementare Zeilenumformung (II'=II-2*I)

\(\begin{array}{ccccc}
x_{1} &+& x_{2} &=& 1 \\
      & &-x_{2} &=& 0
\end{array}\)

erhält man eine Zeilenstufenform.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Ohman ja klar, da stimme ich dir natürlich zu!

Dann noch eine kurze Frage: Haben wir oben bei Matrix A bzw. Matrix B Zeilenstufenform? Eigentlich ja nicht, weil die Bedingung $N_{i} < N_{i+1}$ aufgrund einer fehlenden Zeile nicht erfüllt sein kann.
Damit ist die erste Bedingung verletzt und wir haben keine Zeilenstufenform?
Somit müssten wir die Bedingung $N_{i} = n+1$ für ein $i_{0} + 1 < i \le m$ gar nicht mehr prüfen?

VG X3nion



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-07-11


Bei \(m=1\) kann für \(i_0\) nur die \(0\) gewählt werden. Dann sind aber die weiteren Bedingungen

2020-07-11 22:08 - StefanVogel in Beitrag No. 8 schreibt:
- für alle \(i\) in \(1\le i\le i_0\) gilt \(N(i)<N(i+1)\),
- für alle \(i\) in \(i_0 + 1 <i \le m\) gilt \(N(i)=n+1\).

beide erfüllt, weil in beiden Bedingungen i aus der leeren Menge ausgewählt wird. Eine einzelne Gleichung erfüllt immer die Bedingungen für Zeilenstufenform.



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X3nion
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Ahh okay!
Aber ist es so, dass sobald einmal die leere Menge nicht betrachtet wurde und mit diesem eine Bedingung nicht erfüllt ist, dass dann Zeilenstufenform nicht vorliegt?
Bzw. kann man es so zusammenfassen: beides Mal leere Menge => auf jeden Fall Zeilenstufenform, weil man alles als wahr folgern kann.
Für eine Bedingung leere Menge, für die andere Bedingung ein Element und für Letzteres trifft die Bedingung zu => Zeilenstufenform
Für eine Bedingung leere Menge, für die andere ein Element und für Letzteres trifft die Bedingung zu => keine ZSF?

VG X3nion



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-07-11


wenn am Ende gemeint ist "trifft die Bedingung nicht zu => keine ZSF", dann ja.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12


2020-07-11 23:55 - StefanVogel in Beitrag No. 14 schreibt:
wenn am Ende gemeint ist "trifft die Bedingung nicht zu => keine ZSF", dann ja.

Ja natürlich!

Vielen Dank dir!

VG X3nion



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