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Analysis » Folgen und Reihen » Reihe umordnen
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Universität/Hochschule Reihe umordnen
eismannsberg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-11 16:17


Hallo,

Ich vermute, dass man foldende Summen nicht vertauschen darf und Folgendes nicht gilt.
\(
\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty x-y = \sum_{y=0}^\infty \sum_{x=0}^\infty x-y

\)

Kann mir jemand sagen wieso?

Viele Grüße
Eismannsberg



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-11 18:25


Hallo,

die Antwort ist eigentlich kurz und bündig: unendliche Reihen darf man nur umordnen, wenn sie absolut konvergent sind (das ist sogar ein notwendiges Kriterium, kein hinreichendes). Das ist hier ja ganz offensichtlich nicht der Fall.

Und eine Vertauschung der Summenzeichen ist nichts anderes als eine Umordnung (wie du im Titel ja zutreffend formuliert hast).


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]



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eismannsberg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11 20:02


Kann man die obigen Reihen berechnen?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-11 20:52


Ohne etwas über x oder y zu wissen, wird das für uns schwierig 😉



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-11 21:26


2020-07-11 20:02 - eismannsberg in Beitrag No. 2 schreibt:
Kann man die obigen Reihen berechnen?

Man kann ihren Grenzwert nicht berechnen, aber man kann sofort feststellen, dass sie nicht konvergent sind.

Eine Doppelreihe wie $\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty(x-y)$ ist in folgendem Sinne zu verstehen: Man berechnet zuerst für ein festes $x$ die innere (rechte) Reihe und dann die äußere (linke) über die von $x$ abhängige Reihensumme der inneren. In deinem Fall konvergiert aber schon die innere Reihe für kein einziges $x$, so dass auch das gesamte Konstrukt keinen Grenzwert hat.

2020-07-11 20:52 - X3nion in Beitrag No. 3 schreibt:
Ohne etwas über x oder y zu wissen, wird das für uns schwierig ;-)

$x$ und $y$ sind die Summationsvariablen. Was sollte man über die denn noch wissen können?

--zippy



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-11 21:31



x und y sind die Summationsvariablen. Was sollte man über die denn noch wissen können?

Entschuldigung, ich hatte schludrig draufgeschaut 😁

VG X3nion



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