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Topologie » Diff.topologie/-geometrie » Warum sollen Mannigfaltigkeiten hausdorffsch sein und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen?
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Universität/Hochschule J Warum sollen Mannigfaltigkeiten hausdorffsch sein und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen?
Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-13 14:25

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Hallo Matheplanet!

Ich lese mich gerade in die Grundlagen der Differentialgeometrie ein, und habe bei der Definition differenzierbarer Mannigfaltigkeiten ein Motivationsproblem: Wozu fordert man, dass Mannigfaltigkeiten hausdorffsch sein und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen sollen? Bestimmt hat es etwas damit zu tun, dass Mannigfaltigkeiten ja lokal wie $\R^n$ aussehen sollen, und der $\R^n$ diese Eigenschaften beide hat. Mir erschließt sich letztendlich aber nicht, welche pathologischen Fälle man mit diesen beiden Forderungen ausschließt.

Speziell bei der Hausdorffeigenschaft fällt es mir sogar schwer, mir überhaupt einen nicht-hausdorffschen topologischen Raum vorzustellen, der mit Karten versehen werden kann. Mein Prototyp eines nicht-hausdorffschen Raums ist beispielsweise $\R/I$ mit einem offenen Intervall $I$ (die beiden Randpunkte von $I$ lassen sich in der Quotiententopologie nicht mit disjunkten offenen Umgebungen trennen). Dieser Raum ist aber nicht lokal homöomorph zu $\R$ oder einer offenen Teilmengen davon, denn $R/I$ enthält eine einelementige offene Teilmenge, im Gegensatz zu den offenen Teilmengen von $\R$. Wenn das Intervall halboffen ist, tue ich mich etwas schwerer, die nicht-Homöomorphie zu zeigen, aber ich sehe auch keinen Homöomorphismus. Gibt es denn nicht-hausdorffsche Räume, die lokal homöomorph zu offenen Teilmengen von $\R^n$ sind?

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-13 14:37





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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 14:44


Danke, das sind schonmal schöne Beispiele, die nicht-Hausdorffsch sind. Aber welche Vorteile hat man konkret, wenn man nur Hausdorffsche Mannigfaltigkeiten betrachtet?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-13 14:48


Das zweite Abzählbarkeitsaxiom braucht man u.a. für die Zerlegung der Eins. Für Einbettungssätze sind wohl diese beiden Eigenschaften auch wichtig - das weiß ich aber nicht genauer.

Ich finde auch, dass diese Voraussetzungen a priori vom Himmel fallen. Ich würde vermuten, dass es geschichtlich eine Weile gedauert hat, bis man sich darauf geeinigt hat, diese Eigenschaften vorauszusetzen (und dabei studiert man ja schließlich trotzdem noch z.B. nicht-Hausdorff'sche Mannigfaltigkeiten).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 15:12


Soweit ich das sehen kann, wird zumindest im Jänich die Hausdorffeigenschaft bis auf eine Übungsaufgabe nicht weiter benutzt (Beweis, dass wenn man einen Punkt aus der Mannigfaltigkeit entfernt, diese nicht mehr kompakt sein kann). Das Abzählbarkeitsaxiom wird aber tatsächlich so wie du es sagst beim Existenzbeweis einer Zerlegung der Eins verwendet (und sonst auch nicht mehr). Dann scheinen diese Forderungen wohl eher technischer Natur zu sein, und nicht grundlegend für die Vorstellung davon, was eine Mannigfaltigkeit darstellen soll. Würdet ihr da zustimmen?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-13 15:20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

kommt drauf an, was du sonst noch alles an Mannigfaltigkeiten zulassen willst.

\( \cup_{r\in\IR} \IR\) oder the long line

Wally
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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-13 15:40


2020-07-13 15:12 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 4 schreibt:
Das Abzählbarkeitsaxiom wird aber tatsächlich so wie du es sagst beim Existenzbeweis einer Zerlegung der Eins verwendet (und sonst auch nicht mehr).

Die Zerlegung der Eins ist aber bei vielen Resultaten in der Differentialgeometrie extrem wichtig.

Moishe Kohan gibt in MSE/472998 Gründe, Hausdorff vorauszusetzen. Da man in der Differentialgeometrie Analysis betreiben will, scheint es mir auch wichtig, dass Grenzwerte eindeutig sind, welche man mit der Hausdorff Eigenschaft bekommt. Ich weiß allerdings nicht, wie wichtig diese Erkenntnis wirklich ist.

Ich würde zustimmen, dass diese Zusatzbedingungen eher technisch sind.


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 13:13


Das klingt alles nach guten Gründen. Vor allem die Möglichkeit der Einbettung ist offensichtlich auf beide Eigenschaften angewiesen, da sich diese auf Unterräume übertragen, sodass einbettbare Mannigfaltigkeiten auch wieder beide Eigenschaften benötigen. Kommt mir auch wie eine gute Motivation dafür vor, sowas wie die lange Linie für eine einfachere Theorie nicht zuzulassen.

Auf jeden Fall vielen Dank an alle für die erhellenden Einblicke!



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