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Universität/Hochschule J Minimalität und Basiseigenschaft
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-14 01:14


Hallo zusammen!

Ich verstehe zwei Argumentationsschritte beim Beweis des folgenden Satzes nicht:

Eine Familie S von Vektoren ist genau dann eine basis von V, wenn S ein minimales Erzeugendensystem von V ist.

Beweis zur einen Richtung:
Ist S nicht minimal, so gibt es $b \in S$, so dass $S \backslash \{b\}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von V ist. Insbesondere gilt dann aber auch

$b = \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda^{i} a_{i}$ für spezielle $\lambda^{1}, ..., \lambda^{n} \in F$,$a_{1}, ..., a_{n} \in S \backslash \{b\}, n \in \mathbb{N}$. Bringen wir b auf die andere Seite, so widerspricht dies der linearen Unabhängigkeit von S. Somit ist eine Basis minimal.

- - - - - - - - -

Wieso ist $S \backslash \{b\}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von V?

Und wieso ist S linear unabhängig? Wir wissen über S ja nur, dass es Erzeugendensystem von V ist?


Wie immer wäre ich euch für eure Unterstützung zum Verständnis sehr dankbar!

VG X3nion



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-14 02:23


Hallo,


Wieso ist $S\setminus\{b\}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von $V$?

Das liegt daran, dass $S$ nicht(!) minimal ist.
Also gibt es (mindestens) ein Element, das wir hier $b$ nennen, sodass $S\setminus\{b\}$ immer noch ein Erzeugendensystem bleibt.


Und wieso ist $S$ linear unabhängig?

Es wird die Implikation "$\Rightarrow$" gezeigt. Mittels Widerspruchsbeweis.

"Sei also $S$ eine Basis. Angenommen $S$ ist kein minimales Erzeugendensystem, dann ..."

Da $S$ eine Basis ist, ist $S$ linear unabhängig.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 21:53


Hey PrinzessinEinhorn und Danke für deine Antwort!

Ja klar, S heißt per Definition minimal, falls es keine echte Teilmenge von S gibt, die ebenfalls V erzeugt. Ist S nicht minimal, so existiert eine echte Teilmenge von S, die ebenfalls S erzeugt, und $S \backslash \{b\}$ ist eine echte Teilmenge von S.

Der Widerspruchsbeweis ist mir auch klar!

Viele Grüße,
X3nion



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