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Mathematik » Strukturen und Algebra » Äquivalente Matrizen, die nicht durch elem. Zeilen-/Spaltenumformungen auseinander hervorgehen
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Universität/Hochschule Äquivalente Matrizen, die nicht durch elem. Zeilen-/Spaltenumformungen auseinander hervorgehen
MisterSet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-15 12:28


Hallo,
ich habe die Bemerkung gelesen, dass i.A. über Ringen es nicht gilt, dass aus der Äquivalenz von Matrizen folgt, dass diese aus elem. ZU oder SU auseinander hervorgehen. Nun bin ich allerdings an einem Gegenbeispiel interessiert.
Meine bisherige Idee für das Gegenbeispiel:
Also erstens habe ich mir überlegt, dass ich keinen Euklidischen Bereich nehmen darf, da dort die Smith-Form über elementare Umformungen zu erreichen ist.
\[R = \mathbb{Z_9}[x]\] \[A=\begin{pmatrix} (x+2)&(x+1)\\(x+6)&(x+5)\end{pmatrix}\] Diese Matrix ist invertierbar, da ihre Determinante invertierbar ist.
Jetzt ist die Frage, wie ich zeige, dass diese Matrix nicht durch elem. Umformungen aus der Identitätsmatrix hervorgeht. Oder tut sie das doch?
Generell. Wie zeige ich, dass zwei Matrizen nicht durch elem. Umformungen auseinander hervorgehen?
Vielen Dank für eure Antworten



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-15 12:41


Hallo MisterSet,

ohne mich eingehend mit der Thematik befasst zu haben, ist hier ein möglicher Ansatz für die letzte Frage:

2020-07-15 12:28 - MisterSet im Themenstart schreibt:
Wie zeige ich, dass zwei Matrizen nicht durch elem. Umformungen auseinander hervorgehen?

Zeige (vielleicht per Induktion?):
Für kein \(n\in\mathbb {N}\) gibt es eine aus genau \(n\) Gliedern bestehende Folge elementarer Umformungen, die die eine gegebene Matrix in die andere überführt.

mfg
thureduehrsen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-15 13:14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

ob die Aussage stimmt, weiß ich nicht. Du könntest dir einen Beweis im Fall eines Körpers ansehen und untersuchen, welche Schritte auch allgemein über kommutativen Ringen richtig sind.

Zu deiner Beispielmatrix: Zieht man die zweite Spalte von der ersten ab, stehen in der ersten Spalte nur Einsen. Als nächstes kann man dann die erste Zeile von der zweiten abziehen und dann ist man schon fast bei der Identitätsmatrix. Zumindest diese Beispielmatrix kann man also zur Identität umformen.
Zeilenumformungen allein reichen auch:
Erste Zeile von der zweiten subtrahieren. Dann zweite Zeile durch 4 teilen. Dann $x+1$-faches der zweiten Zeile von der ersten subtrahieren. Schließlich erste Zeile von der zweiten subtrahieren.

Edit: Schau mal hier. Da ist auch ein Artikel mit einem Gegenbeispiel verlinkt. Habe aber gerade keine Zeit mir das durchzulesen.
\(\endgroup\)


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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-15 17:26


Hallo MisterSet,

Diese Art Fragen sind recht subtil und es ist typischerweise nicht leicht zu beweisen, ob eine Matrix durch elementare Umformungen zur Einheitsmatrix umgeformt werden kann. Das Stichwort hier ist algebraische K-Theorie, insbesondere K1 Ein Element in \(K_1\), das nicht von den Einheiten des zugrundeliegenden Rings erzeugt wird, entspricht einer Äquivalenzklasse von Matrizen, die sich nicht zur Einheitsmatrix umformen lassen. Ein leicht einzusehendes Beispiel eines solchen Rings habe ich aber auf die Schnelle nicht gefunden, und die Berechnung dieser Invarianten ist typischerweise sehr schwierig.

Je nach vorhandenem Hintergrundwissen kann ich mehr dazu sagen; hast du vielleicht schon eine Topologievorlesung (!) gehört?

vG,
Fabi




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"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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MisterSet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-18 10:53


Leider habe ich noch nicht das Hintergrundwissen(bis jetzt nur Lineare Algebra Vorlesungen gehört), um diese Sachen komplett verstehen zu können. Ich schaue mir die dann später nochmal an. Aber danke für eure Antworten



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