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Mathematik » Stochastik und Statistik » Aufenthaltsdauer in Zustand 1 einer Markovkette
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Universität/Hochschule Aufenthaltsdauer in Zustand 1 einer Markovkette
julmeran
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-15


Guten Tag zusammen,

seit geraumer Zeit beschäftigt mich eine Aufgabe bezüglich einer simplen Markovkette der folgenden Form \(P =\left ( \begin{array}{rr} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \\ \end{array} \right ) \) .
 

Die Zufallsvariable \(\bf{R}\) gibt an, wie lange sich die MK in Zustand \(\bf{1}\) aufhält.

\(\bf{Gesucht}\) ist nun die Verteilung der Zufallsvariable R für jeweils T=3,5 und 12 Zeitschritte.


Als Startverteilung darf ich die invariante Verteilung \(\pi_{1},\pi_2\) wählen. Dies ist erstmal nebensächlich, da mein Problem bei der eigentlich rekursiven Berechnung liegt.

Nun zu meinem Ansatz: Für den Fall T=3 lässt sich die Verteilung von R noch händisch ausrechnen. Der Einfachheit halber betrachte ich nur die Wahrscheinlichkeit für den Start in Zustand 1. Hier erhalte ich z.B. für R = 0
\[\mathbb{P}(R=0) = p_{12} \cdot p_{22}^2 \] und für R=1
 \[ \mathbb{P}(R=1) = p_{11 } p_{12} p_{22} + p_{12} p_{22} p_{21} + p_{12} p_{21} p_{12}. \]
Mit dem Vorgehen geht es noch für T=3 und evtl. auch für T=5 Zeitschritte. Spätestens bei T=12 sind es jedoch zu viele Kombinationen.


Hat jemand eine Idee, wie ich die ganzen Möglichen Kombinationen geschickter zusammenfassen kann?









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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-17


Hallo julmeran,

vielleicht folgender Ansatz: Anstatt Kombinationen zu betrachten, könntest du die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass sich das System nach der Zeit T im Zustand k befindet und vorhergehend n mal im Zustand 1 verweilt hat. Für diese Werte, ich nenne sie mal q(T,k,n) kannst du eine rekursive Formel aufstellen, die die Werte für den Zeitpunkt T und die Aufenthaltszeit n auf die jeweiligen Werte für T-1 und n bzw. n-1 zurückführt.

Mit dieser Rekursion kann man dann entweder tatsächlich rekursiv die Werte für ein betrachtetes T wie T=12 noch gut ausrechnen (zumindest mit etwas Programmierung), oder man kann sich die ersten Werte einfach mal angucken und hoffen, eine explizite Funktion zu erkennen, die man dann mit Hilfe der Rekursion und vollständiger Induktion auch beweisen kann.

Grüße
und einen schönen Weg ins Wochenende

Gerhard/Gonz



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