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Universität/Hochschule Aussagenlogik
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-16 09:26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Morgen an alle,

Gestern Abend habe ich mir nochmals im Detail überlegt, was man eigentlich genau machen muss, um eine Implikation zu zeigen.

Wenn man sich die Wahrheitstabelle einer logischen Implikation aufschreibt, sieht man, dass die Aussage $A\Rightarrow B$ lediglich dann falsch ist, wenn $A$ den Wahrheitswert wahr und $B$ falsch annimmt. Somit ist also, falls $A$ falsch ist, nichts mehr zu zeigen, da egal welchen Wert $B$ annimmt, die Aussage $A\Rightarrow B$ richtig ist.

Falls jedoch $A$ wahr ist, müssen wir daraus folgern, dass auch $B$ wahr sein muss. Ich glaube soweit habe ich noch den Überblick. Dann habe ich mir jedoch überlegt, wie man nun eine Aussage, die mit dem logischen Und ($\land$) konstruiert wurde, zu beweisen ist.

Bin ich der richtigen Annahme, dass man dort mehr Fälle überprüfen muss?

Ausserdem habe ich mir noch ein konkretes Beispiel überlegt:

Sei $A$ die Aussage: $x=1$ und $B$ die Aussage: $x=x^2$. Dann können wir ja zum einen die Aussage $A\Rightarrow B$, jedoch auch die Aussage $A\Leftrightarrow B$ bilden. Doch bekommen wir bei der logischen Implikation nicht einen Widerspruch im Falle, dass $A$ falsch ist und $B$ wahr ist. Dies kann doch in diesem Beispiel gar nicht eintreten, da wenn $x$ ungleich 1 ist, kann doch $x=x^2$ gar nicht folgen?

Ich glaube, dass ich momentan gerade ein wenig verwirrt bin mit der Aussagenlogik🙁.

Vielen lieben Dank für eure Hilfe!
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-16 09:28


Die zweite Gleichung ist offenbar auch für $x=0$ erfüllt.
Dann ist $A$ falsch und $B$ wahr.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 09:30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hmm okay das stimmt, habe ich übersehen. Was wäre jedoch, wenn wir die Null in der rechten Aussage $A$ noch miteinschliessen würden?
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-16 09:45


Die Aussagen $x=x^2$ und $x=0 \lor x=1$ sind (von irgendwelchen formalen Spitzfindigkeiten abgesehen) äquivalent.



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 09:50

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Warum kann man dann aber auch sagen, dass $x=0 \lor x=1$ die Aussage $x=x^2$ impliziert?

Dann hätten wir ja im Falle von $A$ falsch und $B$ wahr ein Problem, da sich dies widersprechen würde oder nicht?
\(\endgroup\)


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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-16 10:50


Hallo sandrob,

2020-07-16 09:50 - Sandrob in Beitrag No. 4 schreibt:
Warum kann man dann aber auch sagen, dass $x=0 \lor x=1$ die Aussage $x=x^2$ impliziert?

Die Aussage
\[
\forall\,x\in\mathbb {R}:\ (x=0\lor x=1)\implies x=x^2
\]
gilt. Wenn \(x=0\) oder \(x=1\) ist, dann steht da "wahr impliziert wahr", was eine wahre Aussage ist, und in jedem anderen Fall steht da "falsch impliziert Beliebiges", was ebenfalls eine wahre Aussage ist.

Klärt das deine Verwirrung?
Wenn nein, kannst du sie prägnanter formulieren?

mfg
thureduehrsen



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 11:07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Also ehrlichgesagt bin ich immer noch verwirrt. Wir können ja mittels den logischen Operatoren, also z.B. Und, Oder, Implikation, Negation, etc. mehrere Aussagen miteinander verbinden und somit zu "grösseren" Aussagen zusammenfügen.

Wir definieren also z.B. die Implikation $A\Rightarrow B$ durch den zusammengesetzten Ausdruck $\neg A \lor B$. Um nun zu überprüfen, ob zwei Aussagen $A$ und $B$ die logische Implikation erfüllen, müssten wir doch auf alle 4 Fälle überprüfen. Mit den 4 Fällen meine ich die 4 Tupel, wenn man das kartesische Produkt der Menge $\{w, f\}$ mit sich selber bildet, wobei $w$ für wahr steht und $f$ für falsch.

Können wir nun einfach so definieren, dass $A\Rightarrow B$ wahr ist, auch wenn wir den kausalen Zusammenhang völlig ignorieren. Ich meine es ist ja grundsätzlich nicht möglich, dass $x\neq 1$ und $x\neq 0$ gilt und dabei trotzdem $x=x^2$ erfüllt ist. Das würde sich doch direkt widersprechen oder nicht?
\(\endgroup\)


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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-16 11:41


Selbstverständlich kannst du für alle Aussagen \(A\) und \(B\) per Definition festlegen, dass die Aussage \(A\implies B\) wahr sei, nur was bringt dir das?

Du könntest dann gar keine "scharfen" (erhellenden, interessanten, ...) Aussagen mehr herleiten, überhaupt der Begriff des logischen Schlusses fiele in sich zusammen.

Ich empfehle dazu das "Mathematische Vorsemester" (Uni Bielefeld, 1971). Dort werden solche Fragen erschöpfend behandelt.

mfg
thureduehrsen



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 11:47

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Ich glaube, dass wir uns jetzt missverstanden haben. Ich meinte nicht die Aussage $A\Rightarrow B$ per Definition immer als wahr festzulegen.

Vielmehr meinte ich den Fall, in dem die Aussage $A$ falsch ist und die Aussage $B$ wahr (konkret auf das vorherige Beispiel bezogen). Ich glaube, dass ich vor allem deswegen verwirrt bin, da ich in der Implikation viel zu oft den kausalen Zusammenhang suche.

Jedoch impliziert ja sogar $0=1$, dass die Welt eckig ist, was definitiv nicht im kausalen Zusammenhang steht😁.

Vielen Dank aber für deine Hilfe!
\(\endgroup\)


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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-16 11:55


Überlege dir, welche Alltagsbeispiele es gibt, die es nahelegen, die Implikation \(A\implies B\) gerade  so
\[\lnot A\lor B\]und nicht anders festzulegen.

"Wetten, wenn ich eine Drei werfe, dann hast du anschließend todsicher eine Sechs und kannst mich wieder rauswerfen."

Sowas in der Art.

mfg
thureduehrsen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 12:03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Okay, ich versuche mir das mal zu überlegen.

Trotzdem bin ich mir jedoch noch unsicher, wie jetzt z.B. ein logisches Und oder ein logisches Oder beweisen müsste. Also bei einer Implikation nehmen wir ja immer die Aussage $A$ als wahr an und wollen daraus zeigen, dass $B$ ebenfalls wahr sein muss.

Wie würde dieses Verfahren jedoch konkret bei den anderen beiden erwähnten logischen Operatoren aussehen?
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-16 12:07


Nun, jedes $x$, für das gleichzeitig $A:=(x=0\lor x=1)$ falsch und $B:=(x=x^2)$ wahr ist, erfüllt zum Beispiel auch $0=1$.

Es ist etwas unintuitiv, doch erfüllen Elemente leerer Mengen grundsätzlich jede Aussage(form).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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- Bill Watterson -



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 12:40

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Also ich habe jetzt nochmals genauer nachgedacht und verstehe langsam meinen Denkfehler. Ich suche viel zu fest den kausalen Zusammenhang zwischen den Aussagen und kann einzig den Fall $\neg A$ und $B$ nicht richtig nachvollziehen. Da jedoch die Definition der Implikation ja $\neg A \lor B$ ist, reicht die falsche Aussage $A$ schon aus, dass die Implikation nachher als Ganzes wahr ist🤔.

Danke für eure Geduld😁!
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
tactac
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Ich möchte erwähnen, dass es auch diverse Systeme für sogenannte "Relevanzlogik" gibt. Mit denen kann man üblicherweise Implikationen haben, die auch Kausalitätsaspekte abbilden.

Der Preis: Konjunktion und Disjunktion verhalten sich nicht 100%ig so, wie man es von den klassischen Varianten erwarten würde, man benötigt ggf. mehrere verschiedene Versionen von ihnen ("additiv", "multiplikativ"), überhaupt wird alles komplizierter, Semantik mit zwei Wahrheitswerten funktioniert nicht, ...



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