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Analysis » Topologie » Metrischer Raum
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Universität/Hochschule J Metrischer Raum
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-16 14:11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe aus Analysis I.
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Für $A\subseteq X$ und $x\in X$ definiere die Abbildung $d_{A}\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ durch $d_{A}(x)=\inf \{d(x,y)|y\in A\}$. Beweisen Sie die folgende Aussage:

(1): Die Abbildung $d_{A}\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ ist stetig.

Nun möchte ich zeigen, dass die Abbildung Lipschitz-stetig ist. Ich sehe also, dass $d_{A}(x)\leq d(x,a)\forall a\in A$. Mithilfe der Dreiecksungleichung folgt dann:

$d_{A}(x)\leq d(x,y)+d(y,a)$. Dies gilt auch für alle $a\in A$. Nun habe ich kurz in die Musterlösungen gespickt und dort argumentieren sie jetzt weiter, dass auch $d_{A}(x)\leq d(x,y)+d_{A}(y)$ gilt, da wir $a\in A$ beliebig gewählt haben und somit dies auch für das Infimum gilt.

Dieser Schritt ist mir jedoch eher unklar, da wir doch nur wissen, dass $d_{A}(y)\leq d(y,a)\forall a\in A$ gilt?

Liebe Grüsse und vielen Dank für eure Antworten!😄
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-16 14:43


Hey Sandrob,

da wurde explizit die Definition des Infimums angewandt. Das Infimum ist nämlich nicht nur irgendeine untere Schranke, sondern die größte untere Schranke.

Du weißt nämlich, dass \(d_A(x) - d(x,y)\) eine untere Schranke von \(\{d(y,a), ~a \in A \}\) ist, also kleiner oder gleich der größten unteren Schranke dieser Menge, also \(d_A(y)\)



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 15:01


Danke viel viel mals für deine schnelle Hilfe. Genau diese Zwischenschritte haben mir in der Musterlösung gefehlt, um es zu verstehen. Danke dir für die Erleuchtung!😁👍



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-16 16:36


2020-07-16 14:55 - X3nion schreibt:
 Link zum Topic [Metrischer Raum]

Hey Kampfpudel,

möchest du mir vielleicht kurz erläutern, wieso $d_{A}(x) - d(x,y)$ eine untere Schranke von $\{d(y,a) | a\in A\}$ ist? 🙂

Viele Grüße,
X3nion



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-16 16:43

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo X3nion,

Ich hoffe, dass ich Kampfpudel nicht gerade ins "Wort falle" und meine Erläuterung auch passend ist😁:

Wir wissen ja, dass $d_{A}(x)\leq d(x,a)$ gilt für alle $a\in A$. Dies gilt deswegen, da $d_{a}(x)$ gerade als dem Infimum über alle a in A definiert ist. Mit der Dreiecksungleichung kommen wir dann zu $d_{A}(x)\leq d(x,y)+d(y,a)$. Diese Ungleichung gilt immer noch für alle $a\in A$. Nun können wir $d(x,y)$ subtrahieren und kommen zu:

$d_{A}(x)-d(x,y)\leq d(y,a)$ und zwar wichtig für alle a in A.
Genau weil diese Ungleichung nun für alle $a\in A$ erfüllt ist, folgt daraus, dass $d_{A}(x)-d(x,y)$ eine untere Schranke der Menge $\{d(y,a)|y\in A\}$.

Weisst du was ich meine🙂?
\(\endgroup\)


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