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  Kritische Punkte trigonometrischer Funktionen |
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MePep
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2020
Mitteilungen: 167
 |  Themenstart: 2020-07-18
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Hallo!
Ich habe folgende Funktion gegeben: $f(x,y) = sin(x)cos(y)+sin(x)^{2}$ die es zu untersuchen gilt. Ich soll alle kritischen Punkte bestimmen und den jeweiligen Typ dieser benennen (Minimum, Maximum, Sattelpunkt etc). Dies ist so ziemlich mein erstes auseinandersetzen mit höherer Analysis weshalb ich noch einige Unklarheiten habe. Zu aller erst habe ich partiell abgeleitet:
Nach x: $cos(x)(cos(y) + 2sin(x))$
Nach y: $-sin(x)sin(y)$
Wenn ich nun die Extremstellen haben möchte, dann muss jede einzelne der Ableitungen bei einer Belegung von x und y = 0 sein oder? Sprich, es gilt das Gleichungssystem:
(1) $cos(x)(cos(y) + 2sin(x)) = 0$
(2) $-sin(x)sin(y) = 0$
zu lösen. An dieser stelle hänge ich schon ein wenig. Wobei ich mir langsam denke, dass dies auf die Unvertrautheit mit dem Lösen von Gleichungssystemen mit trigonometrischen Funktionen zurückzuführen ist und nicht der Tatsache, dass die Funktion nun mehrere Variablen hat 😲😁
Hat jemand vielleicht einen Tipp wie ich nun weiter vorgehe? Für Gleichung (2) würde ja z.B. $x = n \cdot \pi$ und $y = n \cdot \pi$ in frage kommen, aber wie baue ich dann eine Verbindung zur ersten?
Mfg
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ja, das ist hier etwas tricky.
Ich würde mal so ad hoc sagen, dass die folgende Vorgehensweise effizient ist:
- Betrachte zunächst die zweite Gleichung. Überlege dir, in welchen Fällen sie gelöst wird (bzw: das hast du ja schon gemacht).
- Gehe mit diesen Fällen jeweils getrennt in die erste Gleichung ein und überlege dir, wo man jetzt in dieser ersten Gleichung jeweils Winkelfunktionen durch feste Werte ersetzen kann (Vorsicht: Mehrfachlösungen).
Auf deine letzte Frage also mal ganz konkret als Starthilfe der Tipp: angenommen es ist \(x=k\cdot\pi\). Welche Werte könnte dann \(\cos x\) annehmen? Mit diesen Werten arbeitest du jetzt bspw. die erste Gleichung ab.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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MePep
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-18
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\quoteon(2020-07-18 11:49 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo,
ja, das ist hier etwas tricky.
Ich würde mal so ad hoc sagen, dass die folgende Vorgehensweise effizient ist:
- Betrachte zunächst die zweite Gleichung. Überlege dir, in welchen Fällen sie gelöst wird (bzw: das hast du ja schon gemacht).
- Gehe mit diesen Fällen jeweils getrennt in die erste Gleichung ein und überlege dir, wo man jetzt in dieser ersten Gleichung jeweils Winkelfunktionen durch feste Werte ersetzen kann (Vorsicht: Mehrfachlösungen).
Auf deine letzte Frage also mal ganz konkret als Starthilfe der Tipp: angenommen es ist \(x=k\cdot\pi\). Welche Werte könnte dann \(\cos x\) annehmen? Mit diesen Werten arbeitest du jetzt bspw. die erste Gleichung ab.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
\quoteoff
Erst einmal vielen Dank für die super schnelle Antwort :) !
Diese Vorgehensweise macht Sinn! Sagen wir mal, ich lege mich zunächst auf $x = k \cdot \pi$ fest, dann wird (2) auf jeden Fall erfüllt sein. Die Bedingung für y stammt nun eben aus (1), richtig? Die 2sin(x) werden zu 0, cos(x) alterniert in diesem Fall zwischen -1 und 1 also muss cos(y) zu 0 werden was mir dann die Bedingung für y gibt, sprich $y = \frac{\pi}{2}$ bzw $y = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-18
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Hallo,
\quoteon(2020-07-18 12:13 - MePep in Beitrag No. 2)
Diese Vorgehensweise macht Sinn! Sagen wir mal, ich lege mich zunächst auf $x = k \cdot \pi$ fest, dann wird (2) auf jeden Fall erfüllt sein. Die Bedingung für y stammt nun eben aus (1), richtig? Die 2sin(x) werden zu 0, cos(x) alterniert in diesem Fall zwischen -1 und 1 also muss cos(y) zu 0 werden was mir dann die Bedingung für y gibt, sprich $y = \frac{\pi}{2}$ bzw $y = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$?
\quoteoff
Ja, damit hast du den Fall \(\sin x=0\) bereits erfolgreich abgehandelt. Jetzt brauchst du noch den Fall \(\sin y=0\). Mache dir auch klar, dass \(\sin x=\sin y=0\) in diesem Fall nicht gelten kann.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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MePep
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-18
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Für den fall sin(y) = 0, also $y = k \cdot \pi$ folgt zunächst einmal $x = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$. Jetzt bin ich aber gerade noch am überlegen, ob man die Klammer in (1) auch auf 0 bringen kann. Eventuell mit $x = \frac{\pi}{6} + k \cdot \pi$ ? Oder ist dies keine Lösung? Es würde nur funktionieren wenn das k von x und y jeweils gleich gewählt ist, bzw beide gerade oder beide ungerade sind denke ich.
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
\quoteon(2020-07-18 12:27 - MePep in Beitrag No. 4)
Für den fall sin(y) = 0, also $y = k \cdot \pi$ folgt zunächst einmal $x = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$...
\quoteoff
Nein, jetzt bist du ein wenig auf den Holzweg geraten. 😉
Aus \(\sin y=0\) folgt zunächst wieder \(\cos y=\pm 1\). In diesem Fall musst du jetzt (->Satz vom Nullprodukt) die beiden Faktoren getrennt gleich Null setzen.
\quoteon(2020-07-18 12:27 - MePep in Beitrag No. 4)
Jetzt bin ich aber gerade noch am überlegen, ob man die Klammer in (1) auch auf 0 bringen kann. Eventuell mit $x = \frac{\pi}{6} + k \cdot \pi$ ? \quoteoff
Jein, das ist noch unvollständig. Der gleich Null gesetzte Faktor mündet ja zunächst in die Gleichung
\[\sin x=\pm\frac{1}{2}\]
Und das führt letztendlich auf vier unterschiedliche Lösungen (hier muss man auch noch die Achsensymmetrie der Sinusfunktion etwa zu \(x=\frac{\pi}{2}\) beachten).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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MePep
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-18
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Also folgt dann aus der Bedingung sin(x) = $\pm \frac{1}{2}$, dass die Lösung jeweils die 4 stellen sind an der sinus(x) entweder + oder - 1/2 ist mit jeweils k mal einem pi addiert ? Wobei, das würde dann ja eigentlich nur zwei Lösungen bedeuten da die + und - Fälle ja gleichwertig wären oder doch nicht? Man, jetzt bin ich aber verwirrt 🤔
Wirklich etwas zu trickreich für mich
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
innherhalb der ersten Primitivperiode auf der positiven Achse gilt
- \(\sin x=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{\pi}{6},\ x_2=\frac{5}{6}\pi\)
- \(\sin x=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{7}{6}\pi,\ x_4=\frac{11}{6}\pi\)
Hilft das weiter?
Wenn man das jetzt auf \(\IR\) ausdehnt, kann man natürlich wieder paarweise zusammenfassen. Aber es sollte halt klar sein, wie die Lösungen jeweils zustande kommen.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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MePep
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-18
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Auf die Werte für die Klammer bin ich jetzt auch gekommen, ich spüre auch das ich jetzt eigentlich alles habe und es nur noch zusammenfügen muss. Ich scheitere aber noch an einer konzeptuellen Sache:
Wenn man alle Lösungen haben will, muss man dann $\frac{\pi}{6} + k \cdot \pi$ nehmen, damit es zwischen $\frac{1}{2}$ und $-\frac{1}{2}$ alterniert und man so in der Klammer im Prinzip für jedes k immer eine 0 erhält? (Und das dann für jede Lösung machen)
Ich hab das Gefühl, bei irgendetwas an diesem Schritt denke ich immer noch falsch.
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-18
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Hallo,
\quoteon(2020-07-18 14:37 - MePep in Beitrag No. 8)
Auf die Werte für die Klammer bin ich jetzt auch gekommen, ich spüre auch das ich jetzt eigentlich alles habe und es nur noch zusammenfügen muss. Ich scheitere aber noch an einer konzeptuellen Sache:
Wenn man alle Lösungen haben will, muss man dann $\frac{\pi}{6} + k \cdot \pi$ nehmen, damit es zwischen $\frac{1}{2}$ und $-\frac{1}{2}$ alterniert und man so in der Klammer im Prinzip für jedes k immer eine 0 erhält? (Und das dann für jede Lösung machen)
\quoteoff
Wenn du damit meinst, dass man diese Lösungen etwa zu
\[x_1=\frac{\pi}{6}+k\pi,\ x_2=\frac{5}{6}\pi+k\pi\]
zusammenfassen kann: ja, das hatte ich ja vorhin schon angedeutet.
\quoteon(2020-07-18 14:37 - MePep in Beitrag No. 8)
Ich hab das Gefühl, bei irgendetwas an diesem Schritt denke ich immer noch falsch.
\quoteoff
Man muss hier schon struktiert vorgehen, damit man den Überblick nicht verliert. Aber eine Repitition in Sachen Winkelfunktionen könnte dir eventuell auch nicht schaden... 😉
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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MePep hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MePep hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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