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Ausbildung Krümmungen von Kurven/Funktionen und Information
Mandelbrat1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-18


Hallo zusammen

Ich bitte vorab schon einmal um Entschuldigung, dass ich hier immer etwas komische und/oder speziellere Fragen stelle.
Falls sich jemand daran stören sollte, nehme ich gerne hier in den Antworten die Kritik entgegen...

Zur Frage:
Wäre es möglich, eine Information, beispielsweise eine Zeichenfolge oder Zahl oder ein Text, in der ("punktuellen" ?) Krümmung eines endlichen Kurvenstücks oder eines Stückes einer Funktion zu codieren?
Und natürlich so, dass es exakt beschreibbar ist...
Ob man die Kurve und / oder die Krümmung dazu diskretisieren müsste ist nich unbedingt entscheidend...

Meine Idee dabei ist folgende:
Würde man eine Zeichenkette oder Zahl in Form eines Funktions-/Kurvenstückes codieren (im obigen Sinne), so könnte man anschliessend untersuchen, was mit der Kurve geschehen würde, falls man die codierte Information verschlüsselt. Ich stelle mir dabei vor, dass das Kurvenstück dabei Transformiert würde.


Interessant wäre dabei, dass man untersuchen könnte, welche Verschlüsselungen dann wiederum Transformationen entsprechen, welche Funktionen/Kurven in Funktionen Kurven überführen. Bzw. Welche Kurven in welche andere Kurven überführt werden. Oder ob bei gewissen Transformationen die Punktemengen beispielsweise die Eigenschaft, eine Kurve oder Funktion zu sein, verlieren würden - was ich nicht vermute (?)usw..usf.


Mich würde im allgemeinen eure Meinung dazu interessieren.
Und falls jemand eine "Lösung" bzw. Umsetzung auf Lager hat, wäre das natürlich auch toll.



Grüsse

Mandelbrat




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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-20


Hallo Mandelbrat,

im Prinzip wird so etwas gemacht. Guck' dir zum Beispiel mal die FSK Codierung (zu Deutsch: Frequenzumtastung) an. Hier wird eine binär codierte Information übertragen, wobei 0 und 1 durch unterschiedliche Formen der Schwingungskurve codiert werden.

FSK bei Wiki

Grüße aus dem Harz,
Gerhard/Gonz



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Mandelbrat1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-20


Hallo Gonz

Danke für deinen Beitrag, welcher ja der erste ist. 😉

Was du schreibst klingt interessant, ist aber nicht genau das, was ich meine.

Ich stelle mir dabei nichts physikalisches vor.
(Es geht mir um die reine Mathematik dahinter.)

Vielmehr denke ich dabei daran, dass jede Kurve in einem möglicherweise infinitesimal kleinen Abschnitt eine gewisse Krümmung aufweist.
In der Variable dieser Krümmung bzw. einfach in der Krümmung einer Kurve, möchte ich Information so codieren, dass ich aus einem gegebenen Code oder einer Gegebenen Zeichenkette welche ich darstellen möchte, eine Kurve konstruieren kann.
Dabei gäbe es nach Voraussetzung eine (möglichst) eindeutige Zuordnung von Zeichenkette zu Funktion/Kurve.
Danach könnte ich aus der Kurve (als Bild) oder Mathematische Definition einfach wieder den Code "extrahieren" bzw. ableiten. usw....

Es ist natürlich durchaus denkbar, dass man dazu eine solche Kurve diskreditieren müsste - und damit auch ihre Krümmung. So hätte man vielleicht in der Praxis eher einen Polygonzug (mit Winkeln) als eine stetige Kurve. (?)



Vielleicht ist jetzt etwas klarer, was ich damit meine.





Danke für eure Hilfe.


Gruss

Mandelbrat


P.S.: Sich dabei auf Schwingungen zu begrenzen, macht nicht unbedingt Sinn.



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-21


hallo Mandelbrat,

welche Bedingungen sollen denn an die Kurve gestellt sein? Ich könnte ja zB so codieren: Eine 0 ist ein gerades Stück, und eine 1 ein Bogensegment, wobei ich es jeweils in Abhängigkeit von der vorhergehenden Steigung so anfüge, dass es wenn möglich "zur x-Achse zurückführt". Damit bekäme ich eine wohldefinierte Kurve, und könnte durch Abgreifen der Krümmung die wohlbestimmten Abständen die Nachricht wieder decodieren. Das Gebilde wäre dann "Knickfrei", aber natürlich an den Stellen, an denen es zusammengesetzt ist, nicht beliebig oft differenzierbar.

Wäre so etwas in deinem Sinne?

Grüße
Gonz

Nachtrag:
fed-Code einblenden






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Mandelbrat1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-21


Hallo Gonz

Ja, das kommt dem ganzen schon ein wenig näher.

Idealerweise wäre die resultierende Kurve natürlich auch noch eine Funktion.
Vor allem: Wenn ich es mir wünschen könnte - 😉 - nähme ich als Resultat natürlich eine stetige, kontinuierliche, am besten beliebig differenziererbare Funktion.
Aber ob das so wichtig wäre - ich bin nicht sicher!

Wie genau man aber beliebige reelle Zahlen, welche die Krümmungen ja - zumindest in meinen Augen - sein würden, zur Codierung von (meist) "diskreten Informationen" verwenden würde, ist wohl eine der Hauptfragen.
Daher spreche ich auch die diskretisierung der Kurve an.

Wenn man herkömmliche Codierungen betrachtet, am besten Zahlensysteme, so hat man ja meist eine endliche Menge von Zeichen durch welche eine Variable ersetzt werden kann. So hat man am ende ein Binär- oder ein Dezimalsystem usw...
Da es aber wohl keinen Grund gibt, dass die Krümmung einer Kurve in diskreten Schritten "vorangeht", so führt dies zu einem offensichtlichen Problem.

Ich weiss leider nicht, ob es auch Theorie zur Codierung von Information in Form  reeller Zahlen gibt. (???)

Alles in allem stelle ich mir vor, dass man die Krümmung, so wie sie ist, in eine endliche Anzahl k von diskreten Schritten einteilt. Wie zum beispiel die Grad-Einteilung eines Winkels. So hätte man am ende ein k-äres Zahlensystem, in welchem man Information codieren könnte.
Zudem könnte man problemlos binäre oder dezimale Information in diesem System darstellen.

Vermutlich müsste man es dann aber einfach als Programm implementieren.
Daher:
1. Aus einer analytischen Kurve/Funktion ein Polygonzug mit gewisser "Genauigkeit" bzw. Feinheit" ableiten der die Kurve "überdeckt". Daher einer, der einer Kurve bis auf eine gewisse Genauigkeit folgt bzw. mit ihr übereinstimmt.

2. Da nach sinnvoller Voraussetzung die Genauigkeit des Polyonzuges mit der ausgewählten diskretisierung und damit mit der Basis für die Codierung übereinstimmt, könnte man nun Information aus der Kurve "herauslesen".

3. Nach belieben Transformieren und Prozess wieder rückwärts durchlaufen.

4. resultierende Kurve bestaunen... 😉

usw...

Eigentlich müsste man, so wie ich es beschrieben habe, mit der Information bzw. der Zeichenkette beginnen und daraus den Polygonzug und daraus die Funktion ableiten. Und wieder Rückwärts.

Der ganze Prozess sollte aber umkehrbar sein, das wäre schon eine Voraussetzung.


Danke für eure netten Beiträge.


Gruss

Mandelbrat





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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-21


Eine Funktion draus zu machen ist einfach.



Jetzt könnte man einen Decoder bauen :)



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-22


Arg und so gewohnheitsmäßig bräuchte man eine Anfangskennung. Und müsste dann natürlich irgendetwas dazuerfinden, damit die Anfangskennung nicht in den Daten vorkommt. Uuuuund am Ende eine Blocksicherung... (aber das ist wieder Nachrichtentechnik).

Meine nächste Idee, damit es "ordentliche" Funktionen gibt, wäre der Einsatz von Polynomen, die auf entsprechendes Verhalten an den Stützstellen berechnet werden. Damit werde ich wohl mal herumexperimentieren.

Mandelbrat: Wenn du Werte aus R nimmst, dann kannst du doch in jede noch so kleine Umgebung einer Funktion beliebig viel Information codieren, indem du zB einfach die Koeffizienten der Reihenentwicklung um den Mittelpunkt hernimmst (oder eben die Fourierkoeffizienten)...

Du musst glaube ich noch etwas genauer darstellen, wo du hin willst.

Grüße
gonz



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-22


Man kann natürlich beliebige (endliche) Informationen in einer einzigen rationalen Zahl kodieren.
Ganz naiv als Binärzahl und weniger naiv mit verschiedenen Kodierverfahren (arithmetisches Kodieren bspw.).

Genauso kann man natürlich eine Fourierreihe oder ähnliches wählen und die Information als Koeffizienten verwenden.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Mandelbrat1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24


Hallo zusammen

Ich habe mal eine kleine Skizze gemacht:



So stellte ich mir den Grundaufbau vor.
Also eigentlich einfach ein Polygonzug, bei dem die Winkel zwischen den Strecken, hier Vektoren zu Veranschaulichung, die eigentliche Information darstellen.
In diesem Stadium hätte man also, bei herkömmlicher Winkeleinteilung ein 360-äres Stellenwertsystem, durch welches Zahlen oder Zeichenketten codiert werden könnten.
Man würde also einfach beim Startpunkt starten, zum ersten Winkel gehen, diesen auslesen, und den Winkel (als Zahl, bspw. gerundet auf ganze Zahlen) als erstes "Zeichen" notieren. So ginge man von Winkel zu Winkel und konstruierte daraus eine Folge von 360-ären Zeichen. Dies wäre demnach der "versteckte" code/ die versteckte Information.

Nun wollten wir aber eigentlich eine Funktion.
Als einfaches Beispiel könnte man einfach folgendes tun:







Daher ein Polynom durch die Anfangs und Endpunkte der Strecken im Polygonzug.
Nur dass dabei natürlich nicht alle "Winkel" erhalten bleiben.
Ob dies die richtige Methode ist, ich bin mir nicht sicher, denn wir wollten ja eigentlich eine Funktion, die dem Polygonzug am besten entspricht, und vor allem die Winkel zwischen den aufeinander folgenden Strecken erhält, daher gleich lässt.

Die Idee könnte dann sein, dass man, falls man eine Ideale Funktion gefunden hat, immer mit einer bestimmten "Genauigkeit" oder "Granularität" arbeitet.
Denn:
Man könnte ja nach der Konstruktion des Polynoms, dieser Funktion insofern mit den Punkten "Folgen", daher auf ihr fahren, dass Sie Genauigkeit der Punktfolge bzw. des Polygonzugs an die Funktion immer mehr anschmiegt. Nur dass eben dabei dann die Information verloren ginge.

Man müsste also einen Weg finden, eine immer noch diskrete Krümmung einer solchen "induzierten" Kurve zu nutzen um diskrete endliche Information zu codieren.

Nebenbei:
Naiv würde ich vermuten, dass die Krümmung in einem Punkt einer Kurve oder in einem infinitesimalen Abschnitt einer Kurve, einfach der Winkel zwischen den "direkt" aufeinander folgenden Tangenten ist. Könnte man denn in diese Richtung gehen???


Würde man von einer Funktion ausgehen als Voraussetzung, so könnte man im einfachsten Fall ein Intervall bestimmen / definieren, welches man auf der x-achse (oder vermutlich auch y) sozusagen abträgt. Wäre das Intervall beispielsweise 1, so würde man einfach bei jeder Natürlichen zahl auf der x-achse senkrecht nach oben fahren und den Punkt auf der Funktion markieren. Daher man würde einfach alle Punkte der kurve in Schritten von 1 abtasten.
Würde man anschliessend von einem Startpunkt aus, bspw. x = 0 hin zu einem Endpunkt alle So festgestellten Punkte auf der Kurve miteinander  verbinden, sodass ein Polygonzug entsteht, der der Kurve möglichst ideal folgt. Aus diesem könnte man dann die Information "rauslesen".

Die Frage dabei ist natürlich:
Die so codierte Information ist offensichtlich nicht nur von der definierten Funktion abhängig sonder sehr stark auch von der Genauigkeit mit der man abtastet, daher vom genannten Intervall.
Denn unterschiedliche Intervalle die zum abtasten genutzt werden, sollten auch unterschiedliche Punkte und damit auch unterschiedliche Winkel ergeben. somit müsste man mindestens diese zwei dinge vorgeben.


Meine Grundsätzliche Idee dabei war es, dies in einem infinitesimalen Prozess zu verwandeln. Man würde also das Intervall k, welches man auf der x-Achse abträgt, sukkzessive verkleinern, beispielsweise indem man es immer wieder halbiert. Würde man das Intervall k infinitesimal kleiner werden lassen, so sollte sich am ende der Polygonzug an die Funktion anschmiegen und sie im Idealfall Überdecken. Dennoch sollten die Strecken im Polygonzug eine endliche Grösse haben, welche zu wohldefinierten Winkeln zwischen nachfolgenden führt.
usw...


Tut mir leid, wenn ich das so umständlich darstellen muss, aber ich bin mir leider nicht sicher, ob die Idee so überhaupt durchführbar oder realistisch ist. vorallem der Weg vom Polygonzug zur Kurve hin, scheint noch nicht ohne Widersprüche und Probleme definiert.

Ich wollte damit nur meine Grundidee etwas genauer darstellen.



Danke für eure Hilfe.
Ich hoffe der Text ist einigermassen verständlich!


Gruss

Mandelbrat



P.S.:
Was man eigentlich bräuchte, wäre ein Verfahren, welches aus dem Polygonzug eine Funktion ableiten kann / konstruieren kann, welche an den Ecken des Polygonzuges genau diejenige Krümmung hat, die dort der Winkel aufweist.
So könnte man eine Funktion konstruieren, die sowohl Punkte also auch Winkel "überdeckt" bzw "in sich vereinigt".
Anschliessend könnte man beispielsweise als Schlüssel angeben, welche Punkte auf der x-Achse abgetastet werden müssen um genau diejenige Information zu erhalten, welche anfangs codiert wurde. Ich denke dies wäre vielleicht eine einfache Lösung.

P.S.2.: vielleicht müsste man einfach R in eine diskrete Anzahl Intervalle einteilen?






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traveller
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Wie hast du denn vor, das Ganze abzuspeichern oder zu übertragen? Als Funktionsgleichung? Dann hast du doch schlussendlich wieder eine Zeichenfolge, was soll dann der Umweg über die Kurve gebracht haben?

Und wenn du den Funktionsgraphen als Grafik speichern willst, brauchst du noch ganz andere Anforderungen bezüglich Stabilität und Redundanz, sodass die Information bei kleinsten Ungenauigkeiten nicht sofort komplett unlesbar wird. Zumal eine solche Bitmap-Grafik im Hintergrund natürlich auch wieder nur eine Zeichenfolge wäre.



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Mandelbrat1729
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Hallo traveller

Ja, eigentlich dachte ich schon an eine Grafik bzw. ein Bild.

Man müsste wohl mindestens diese Grafik irgendwie normieren.

Und als Funktionsgleichung, ja, da könnte man die Information auch einfach in der Gleichung selbst als Zeichenfolge codieren... bspw. Polynom oder so.

Ich dachte eher an sowas, wie ein QR-Code - aber halt als Funktion.

Ob es technisch machbar oder sinnvoll ist, weiss ich nicht so genau.

es ist ja auch eher/nur eine Spielerei...


Gruss

Mandelbrat



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traveller
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Schlussendlich ist das doch einfach was die Funktechnik macht, denn dort wird Information als elektromagnetische Welle codiert und versandt, und das elektrische und magnetische Feld sind ja Funktionen der Zeit.



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