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| Autor |
  Lagrange-Multiplikator Interpretation |
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nandroid
Aktiv 
Dabei seit: 01.02.2016
Mitteilungen: 328
 |  Themenstart: 2020-07-22
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45041_Bildschirmfoto_2020-07-22_um_17.26.08.png
Kann mir jemand anschaulich erklären, was es mit diesen "blinden Punkten" auf sich hat? Wieso muss ich überhaupt den Gradienten der Restriktionsfunktion zu null setzen? Wieso ist ein kritischer Punkt der Restriktionsfunktion von Interesse?
LG Niko
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haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1746
Wohnort: Bochum
|  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-22
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Hallo,
ich weiß nicht, ob Dir das zu oberflächlich ist, aber das Lagrange-Verfahren "funktioniert" nur an Stellen, an denen der Gradient von g nicht verschwindet.
Es könnte also passieren, dass man Extrema "verpasst", weil diese Bedingung nicht erfüllt ist.
Aus diesem Grund wird hier quasi gecheckt, dass es in der Restriktionsmenge keine solchen Ausnahmepunkte gibt.
Viele Grüße,
haerter
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
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\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo nandroid,
als Erweiterung zu haerters Erläuterung: Das Verfahren mit Lagrange-Multiplikatoren geht davon aus, dass die Restriktionsmenge in einem gewissen Sinne "glatt" ist. Technisch ausgedrückt soll die Restriktionsmenge eine Mannigfaltigkeit sein. Bei kritischen Punkten von $g$ kann es aber dazu kommen, dass die Restriktionsmenge einen isolierten Punkt oder ähnliches besitzt. Das macht das Verfahren kaputt. Beispielsweise hier:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51278_1_geogebra-export.png
$g:\R^2\to\R$ ist durch die blaue Fläche dargestellt, man beachte die Kuhle in der Mitte. Die Restriktion ist $g(x,y)=2$. Damit wird das Extremwertproblem auf den schwarzen Ring und den schwarzen Punkt in der Mitte der Kuhle eingeschränkt. Der Punkt entsteht durch das lokale Minimum von $g$, dessen Wert eben 2 ist. Er entsteht also gerade an einer kritischen Stelle von $g$, in diesem Fall einer Extremstelle.
viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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nandroid
Aktiv 
Dabei seit: 01.02.2016
Mitteilungen: 328
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-22
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Ja, damit habe ich es immer noch nicht wirklich verstanden. Meine Problem ist die Vorstellung dieser Vernüpfung von Ziel- und Restriktionsfunktion. Wieso sollte die Zielfunktion f(x) einen kritischen Punkt haben, wenn g(x) an einem bestimmten Punkt Gradient null hat?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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nandroid
Aktiv
Dabei seit: 01.02.2016
Mitteilungen: 328
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-22
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Ah danke euch beiden, jetzt ist es klar geworden. Und besonderes Dankeschön an die Visualisierung, das ist wohl genau so ein Spezialfall :)
LG Niko
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nandroid hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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