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Analysis » Funktionen » Kubische Vektorgleichung lösen
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Universität/Hochschule Kubische Vektorgleichung lösen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-24


Hallo,

ich stehe vor eienm auf den ersten Blick recht einfachem Problem.

Ich habe n Punkte \(p_1...p_n\in\mathbb{R}^m\). Nun möchte ich einen weiteren Punkt \(x\) finden, sodass der euklidische Abstand von \(x\) zu \(p_i=d_i\) ist. Als Gleichungssystem ohne Wurzel:

\(\| x-p_i\|_2^2=d_i^2\), für alle i.

Da \(n\ge m\) ist das System überbestimmt und ich wähle Least-Squares Ausgleichsrechung zur Approximation. Mit Residum:

\(\| x-p_i\|_2^2-d_i^2=r_i\)

Ziel ist die Minimierung von \(r^Tr\). In Matrixform ist \(r\) der Vektor aller Residuen des Systems, \(P\) ist eine \(n\times m\) Matrix aller Punkte, \(d^2\) der Vektor aller Distanzquadrate. Matrixform:

\(x^Tx\vec{1}-2Px+diag(PP^T)-d^2=r\)

Ich habe \(diag(PP^T)-d^2\) zu \(-y\) zusammengefasst.
Nun kann man ausmultiplizieren, nach \(x\) ableiten, etc. Unter Vorbehalt von Rechenfehleren erhalte ich:

\(mx^Txx-3x^TxP^T\vec{1}-y^T\vec{1}x+P^TPx+P^Ty=0\)

\(m\) ist die Dimension der Punkte, wie oben beschrieben.
Ich habe nur leider keine Ahnung, wie ich obige Gleichung nach \(x\) löse, geschweige denn wie die Lösungen aussehen, Unterräume? Punkte?

Google präsentiert mir immer nur Lösungen für skalare kubische Gleichungen, da gibts ja eine Lösungsformel.




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