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Universität/Hochschule Potenz von Ringen und Idealen
eldar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-27


Wie kann man anhand eines einfachen Beispiels den Zusammenhang zwischen "direktem Produkt" und Idealpotenz (Potenz von Ringen) verdeutlichen?
Hier zum Beispiel steht \(I^{n+1}\subseteq I^n\).
Mir geht es um das Verständnis: Warum enthält das n-fache "direkte" Produkt eines Ideals auch das (n+1)-fache "direkte" Produkt. Während beispielsweise im Ideal I die Elemente \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) enthalten sind, befinden sich doch in \(I^2\) Elemente in Form von Paaren \((a_i,a_j)\) mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Das ist doch was ganz anderes?

Oder besteht mein grundlegender Denkfehler darin, dass man bei Ideal-Produkten gar nicht vom "direkten" (oder "kartesischen") Produkt sprechen darf?

Viel besser gefragt: Wie sind gem. die Elemente beschaffen von \(A\), \(A^{\mathbb{N}}\), \(I\) und \(I^n\)? Handelt es sich hier um das direkte (kartesische) Produkt?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-27


Auch wenn man es bei der Notation denken könnte, ist die Idealprodukt nicht das kartesische Produkt der unterliegenden Mengen.

Es ist $IJ = \langle ij : i \in I, j \in J \rangle_R$, wobei $R$ der entsprechende Ring ist.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-27


2020-07-27 07:47 - eldar im Themenstart schreibt:
Viel besser gefragt: Wie sind gem. die Elemente beschaffen von \(A\), \(A^{\mathbb{N}}\), \(I\) und \(I^n\)? Handelt es sich hier um das direkte (kartesische) Produkt?

$A$ ist irgendein Ring (die Frage kann also nicht weiter beantwortet werden), $A^{\IN}$ ist das kartesische Produkt (wird dort auch so gesagt), $I$ ist irgendein Ideal von $A$ (die Frage kann also nicht weiter beantwortet werden), $I^n$ ist dort die $n$-te Idealpotenz von $I$ (tatsächlich gibt es hier eine Überladung der Notation). Also $I^n$ besteht aus endlichen Summen von Produkten der Form $i_1 \cdot \dotsc \cdot i_n$ mit $i_j \in I$. (Die Produkte beziehen sich auf die Ringmultiplikation.)

Beispiel: Sei $A=\IZ$ und $I = \langle p \rangle$ für irgendein $p \in \IZ$. (Typischerweise ist $p$ eine Primzahl.) Dann ist $(p^n)_{n \in \IN} \in \IZ^\IN$ eine Nullfolge. Die Vervollständigung ist hier $\IZ_p$, der Ring der ganzen $p$-adischen Zahlen.



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eldar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-27


Besten Dank!! Mit dieser Überladung der Notation hab ich mich etwas schwer getan. Jetzt passen alle Puzzleteile wieder zusammen.



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