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Physik » Mathematische Physik » Taylorentwicklung um kleine Störung,verstehe die Umformung nicht
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Universität/Hochschule J Taylorentwicklung um kleine Störung,verstehe die Umformung nicht
Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-27


Es geht bei der Aufgabe um die "Periheldrehung", welche durch die Störung des Potentials $V(r)$ verursacht wird.
Die Störung des Potentials ist $\delta V$.
Aber das ist vermutlich nicht so wichtig, ansonsten füge ich noch Infos hinzu, sagt mir nur welche.

Zu einem gewissen Zeitpunkt kann man jedenfalls einen Term der folgenden Form identifizieren: $\sqrt{x-2m\delta V}=\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}$

Wobei $x$ ein Term abhängig von mehreren physikalischen Größen ist.

Dann wird in einer Musterlösung für diesen Term $ \sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}
 $ eine Taylorentwicklung nach $\delta V $ bis zur ersten Ordnung durchgeführt.
Man erhält:  $ \sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}\approx 1-\frac{m\delta V}{x}
 $
Ich kapiere überhaupt nicht, wie es zu dieser Gleichung kommt. Kann mir jemand erklären, wie hier die Taylor-Entwicklung durchgeführt wird?

Mein gescheiterter Rechtfertigungsversuch:
$f(x):=\sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}\\
f'(x)=\frac{2m\delta V}{x^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}}$

$f(\delta V)=\sqrt{1-2m}\\ f'(\delta V)=\frac{2m}{\delta V}\frac{1}{\sqrt{1-2m}}$

$f(x)\approx \sqrt{1-2m} +\frac{2m}{\delta V}\frac{1}{\sqrt{1-2m}}(x-\delta V)$



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-27


2020-07-27 19:09 - Sambucus im Themenstart schreibt:
Kann mir jemand erklären, wie hier die Taylor-Entwicklung durchgeführt wird?

Üblicherweise wird man hier gleich zur Binomischen Reihe $
(1+t)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty{\alpha\choose k}\,t^k
$ greifen. Wichtig aber sowohl für diesen Weg als auch für die Taylor-Entwicklung: Entwickelt wird nicht nach $x$, sondern nach $t:=\frac{2m\delta V}{x}$.

--zippy



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Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-27


2020-07-27 19:15 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-07-27 19:09 - Sambucus im Themenstart schreibt:
Kann mir jemand erklären, wie hier die Taylor-Entwicklung durchgeführt wird?

 Wichtig aber sowohl für diesen Weg als auch für die Taylor-Entwicklung: Entwickelt wird nicht nach $x$, sondern nach $t:=\frac{2m\delta V}{x}$.

Also $f(t)=(1+t)^{1/2}$ mit $t:=-\frac{2m\delta V}{x}$
und somit $\frac{df(t)}{dt}=\frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}$

Mit $t_0=0$ als Entwicklungspunkt gilt dann: $f(0)=1,\frac{df(t)}{dt}_{|_{t_0}}=\frac{1}{2}$
Und dann $f(x)=f(t)\approx 1+\frac{1}{2}t=1-\frac{m\delta V}{x}$

Ergebnis stimmt, vielen Dank für die Hilfe !:)



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