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Integration » Riemannsche Summen » Integrierbarkeit zeigen mit beliebig kleinem ε>0
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Universität/Hochschule J Integrierbarkeit zeigen mit beliebig kleinem ε>0
WagW
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  Themenstart: 2020-07-30

Hallo zusammen, ich glaube ich habe ein kleines Verständnisproblem was das Zeigen von Gleichheiten angeht, wenn wir das mit einem beliebig kleinen $\epsilon>0$ machen. Also nach dem Motto $a=b$ gilt genau dann, wenn für jedes $\epsilon>0$ gilt $|b-a|<\epsilon$. Hierzu ein Beispiel: Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ eine beschränkte Funktion. Wir wissen dann, dass wenn ich für ein beliebiges $\epsilon>0$ immer eine Partition $P$ von $[a,b]$ finde, sodass $O(f,P)-U(f,P)<\epsilon$ gilt, dann gilt ebenfalls: $\inf\{O(f,P)~|$ $P$ ist Partition von $[a,b]\}-\sup\{U(f,P)~|$ $P$ ist Partition von $[a,b]\}<\epsilon$. Das ist mir auch soweit klar. Aus dieser Tatsache kann man dann weiter folgern, dass $f$ Riemann-integrierbar ist, also, dass $\inf\{O(f,P)~|$ P ist Partition von $[a,b]\}=\sup\{U(f,P)~|$ P ist Partition von $[a,b]\}$ gilt. Ich verstehe aber nicht, dass wenn wir $\epsilon>0$ annehmen wie dann plötzlich $\inf\{O(f,P)~|$ P ist Partition von $[a,b]\}=\sup\{U(f,P)~|$ P ist Partition von $[a,b]\}$ $f$ gelten kann. Wir machen $\epsilon$ zwar beliebig klein, aber Null wird es ja nie?! Wenn wir in anderen Beweisen Gleichheiten durch beliebig kleine $\epsilon>0$ gezeigt haben, dann ging es meistens um Grenzwerte die dann gleich sind. Also ich hätte jetzt in dem obigen Beispiel eigentlich Folgendes machen wollen: Da $\inf\{O(f,P)~|$ $P$ ist Partition von $[a,b]\}-\sup\{U(f,P)~|$ $P$ ist Partition von $[a,b]\}<\epsilon$ gilt, nehmen wir den Grenzwert $\lim\limits_{\epsilon\to 0}$ auf beiden Seiten und erhalten $\lim\limits_{\epsilon\to 0} ~\bigl( \inf\{O(f,P)~|$ $P$ ist Partition von $[a,b]\}-\sup\{U(f,P)~|$ $P$ ist Partition von $[a,b]\} \bigr) <\lim\limits_{\epsilon\to 0}\epsilon=0$. Aber dann stellt sich mir die Frage was genau der Ausdruck: $\lim\limits_{\epsilon\to 0} ~\bigl( \inf\{O(f,P)~|$ $P$ ist Partition von $[a,b]\}-\sup\{U(f,P)~|$ $P$ ist Partition von $[a,b]\} \bigr)$ bedeutet? Ich habe irgendwie das Gefühl, dass ich da was nicht richtig verstanden habe. Vielleicht kann mir das jemand erklären? Wo habe ich da einen Denkfehler? viele Grüße WagW


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-30

Auf das ganze Drumherum mit Infimum, Supremum und Partitionen kommt es hier gar nicht an. Du hast den Kern des Problems schon selbst am Anfang gut herausgearbeitet: \quoteon(2020-07-30 00:50 - WagW im Themenstart) Also nach dem Motto $a=b$ gilt genau dann, wenn für jedes $\epsilon>0$ gilt $|b-a|<\epsilon$. \quoteoff Die Richtung "$a=b$ $\implies$ für jedes $\epsilon>0$ gilt $|b-a|<\epsilon$" sollte klar sein. Für die umgekehrte Richtung kannst du so argumentieren: 1. aus $a\ne b$ folgt $|b-a|>0$. 2. $|b-a|>0$ widerspricht der Voraussetzung, dass für jedes $\epsilon>0$ die Ungleichung $|b-a|<\epsilon$ gilt, da sie offensichtlich für $\epsilon=\frac12\,|b-a|$ nicht gilt. 3. also ist nicht $a\ne b$, sondern $a=b$ Mehr gibt es hier nicht zu tun. Man braucht insbesondere keinen Grenzwert oder ähnliches. --zippy


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WagW
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-30

Hallo zippy, ja so wie Du das erklärst hatte ich das auch ursprünglich in meinem Kopf abgespeichert. Hoffentlich wird das jetzt nicht zu ausschweifend aber hier nochmal kurz ein anderes Beispiel, welches bei mir ursprünglich die Zweifel an meinem Verständnis geschürt hatte: Wir wollen zeigen, dass $M:= \{x\in \mathbb{R}^n~|~ \Vert x-a\Vert \leq \delta\}\neq\emptyset$ abgeschlossen ist. Man nimmt dann einfach an, dass ein Häufungspunkt $b$ außerhalb liegt und führt dies zum Widerspruch. Das war an sich keine große Sache. Aber wenn ich das direkt zeigen wollte, dann wurde das "komisch". Folgendermaßen wollte ich für ein $x\neq b$ aus einer beliebig kleinen $\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon}(b):=\{x\in\mathbb{R}^n~|~\Vert b-x\Vert <\epsilon\}$ zeigen: $\Vert b-a\Vert \leq \Vert b-x\Vert + \Vert x-a\Vert <\epsilon+\delta$. Wenn ich nun $\epsilon>0$ beliebig klein mache, dachte ich, dass dann einfach $\Vert b-a\Vert \leq \delta$ folgt. Aber das kann ja nicht so ganz stimmen... Wie würde man denn dann da vorgehen? viele Grüße WagW


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-30

\quoteon(2020-07-30 17:13 - WagW in Beitrag No. 2) Aber das kann ja nicht so ganz stimmen... \quoteoff Auch das stimmt. Ich schreibe es nochmal etwas ausführlicher auf, damit das wirklich klar wird: 1. Du hast einen Punkt $b$ mit der Eigenschaft, dass in jeder Umgebung von $b$ mindestens ein Punkt aus $M$ liegt. 2. Das ist äquivalent dazu, dass es zu jedem $\epsilon>0$ einen Punkt $x\in M$ mit $\|b-x\|<\epsilon$ gibt. 3. Daraus folgt für jedes $\epsilon>0$ die Ungleichung $\|b-a\|\le \|b-x\|+\|x-a\|<\epsilon+\delta$. 4. Daraus folgt die Ungleichung $\|b-a\|\le\delta$. (Aus dem "$<$" wird ein "$\le$". Um zu sehen, warum das so ist, musst du nur die Argumente aus Beitrag Nr. 1 durchgehen.) 5. Daraus folgt $b\in M$.


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WagW
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-30

Hallo zippy, ok so langsam dämmerts mir, ich hab da irgendwie Tomaten auf den Augen 😄. Ich schreibe das noch mal was ausführlicher auf: Wir haben die "normale" Analysis Technik: Für alle $\epsilon>0$ gilt $0\leq|b-a|<\epsilon$ genau dann wenn $ a=b$ bzw. $0\leq|b-a|\leq 0$ Ich glaube, dass ich das als $0\leq|b-a|\leq 0$ aufschreibe, hat mir geholfen das noch mal irgendwie richtig zu begreifen. Denn genauso gilt das ja, wenn ich einfach sage: Für alle $\epsilon>0$ gilt $0\leq|b-a|<\epsilon+5$ genau dann wenn $0\leq|b-a|\leq 0+5$. Es ist ja vollkommen egal, ob da nur $\epsilon$ alleine oder noch irgendeine positive Konstante steht. Wenn ich das jetzt auf die Sache mit dem Häufungspunkt übertrage, dann ist mir das klar warum am Ende $\Vert b-a\Vert \leq \delta $ wirklich gilt. viele Grüße WagW


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