| |
| Autor |
 Totale Differenzierbarkeit im ℝ² |
|
domi48
Neu 
Dabei seit: 15.04.2020
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2020-07-30
|
Hallo,
bei der Vorbereitung auf meine Analysis 2 Klausur bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen, bei der ich nicht weiterkomme.
Es geht um diese Funktion:\(\displaystyle f(x,y)=
\begin{cases}
0 & \text{für } x=0 \\
x^\frac{4}{3} \cdot \sin(\dfrac{y}{x}) & \text{für } x\neq 0 \\
\end{cases}\)
Die Frage ist, ob diese Funktion total differenzierbar ist.
Auf R\{x|x=0} folgt dies ja direkt Kettenregel/Produktregel etc.
Um die totale Differenzierbarkeit in x=0 zu betrachten, habe ich folgendes versucht:
1. Berechnung der partiellen Ableitungen. Wären diese stetig, so wäre f total differenzierbar - sind sie aber leider nicht.
2. Überprüfen der Definition: Also geht f(x,y)-f(0,a)-J(f,(0,a)) geteilt durch die Norm von (x,y) gegen 0, wenn (x,y) gegen (0,a) geht.Da f(0,a)=0 und J(f,(0,a))=0, wäre dass einfach nur f geteilt durch die Norm. Dabei habe ich jedoch nicht den gesuchten Grenzwert gefunden.
3. Um zu zeigen, dass f nicht total db ist, habe ich die Richtungsableitung in beliebige Richtung am Punkt (0,a) untersucht. Diese ist 0. Ist f total db, muss gelten = 0. Dies stimmt so, damit kann ich also die totale Differenzierbarkeit nicht widerlegen.
Habe ich in meinen bisherigen Betrachtungen einen Fehler gemacht bzw. was könnte ich noch überprüfen, um totale Differenzierbarkeit zu zeigen oder zu widerlegen?
|
 Profil
|
domi48
Neu 
Dabei seit: 15.04.2020
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-30
|
Mist, da hat irgendwas mit der Latex-Formatierung nicht funktioniert.😐
|
Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-30
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
\(\displaystyle f(x,y)=
\begin{cases}
0 & \text{für } x=0 \\
x^\frac{4}{3} \cdot \sin(\dfrac{y}{x}) & \text{für } x\neq 0 \\
\end{cases}\)
Hallo, Domi,
du hattest eine offene geschweifte Klammer nicht geschlossen. Die Vorschau hilft.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
jlw
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.06.2020
Mitteilungen: 45
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-30
|
Zunächst kann man mit der Berechnung der partiellen Ableitungen einen möglichen Kandidaten für die totale Ableitung finden:
Für a,s \el\ \IR, s!=0 gilt:
pdiff(f,x)(0,a)=lim(s->0,(f(s,a)-f(0,a))/s)=(s^(1/3)*sin(a/s))=0 und
pdiff(f,y)(0,a)=lim(s->0,(f(0,a+s)-f(0,a))/s)=0
Also kommt als totale Ableitung nur (0 0) in Frage.
Der zu betrachtende Quotient für h\el\ \IR^2
(f((0,a)+h)-f(0,a)-0)/norm(h)
ist für h_1!=0 gleich (h_1^(4/3)*sin((a+h_2)/h_1))/norm(h) und für h_1=0 sofort 0.
Also ergibt sich in jedem Fall die Konvergenz gegen 0 für h gegen 0 und damit die totale Differenzierbarkeit von f.
|
Profil
|
| domi48 wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
