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Universität/Hochschule J Beweis endliche Gruppe
sb997
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-30 22:39


Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei G eine endliche Menge mit einer inneren Verknüpfung ∘: G x G -> G, die assoziativ ist und für die ein neutrales Element in G existiert. Außerdem gelte für alle a,b,c ∈ G, dass aus a ∘ b = a ∘ c auch b = c folgt. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.

Ich weiß, dass eine Gruppe folgende Bedingungen erfüllen muss:
1) Abgeschlossenheit
2) Assoziativität
3) Neutrales Element
4) Existenz Inverses

Doch wie ist das bei endlichen Gruppen, speziell hier? Ich verstehe nicht so richtig, wie ich die Axiome hier anwenden soll.
Könnte mir bitte einer helfen? Vielen Dank schon mal im Voraus! :)



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-30 22:44


Hallo und herzlich willkommen auf dem Mathe Planeten,

die Endlichkeit der Menge ist nur relevant, damit die Aussage wahr ist. Du kannst auch mal nach einem Gegenbsp. suchen, wenn $G$ nicht endlich ist.

Du hast richtig zusammengefasst, was zu zeigen ist. Drei deiner Punkte sind schon per Aufgabenstellung/Voraussetzungen erfüllt. Welcher Punkt ist also wirklich zu zeigen?

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-31 00:51


2020-07-30 22:39 - sb997 im Themenstart schreibt:
Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei G eine endliche Menge mit einer inneren Verknüpfung ∘: G x G -> G, die assoziativ ist und für die ein neutrales Element in G existiert. Außerdem gelte für alle a,b,c ∈ G, dass aus a ∘ b = a ∘ c auch b = c folgt. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.

wenn
a ∘ b = a ∘ c => b = c
dann existiert ein eindeutiges a´ so dass gilt
a ∘ b ∘ a´ = a ∘ c ∘ a´  => b = c
also nur dann wenn es ein eindeutiges rechts-Inverses a´ zu a gibt.
und dann ist auch aa´= e, denn
a ∘ a´ ∘ b = b
a ∘ a´ ∘ c = c

mein ich ;)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-31 01:47

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-07-31 00:51 - juergenX in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-07-30 22:39 - sb997 im Themenstart schreibt:
Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei G eine endliche Menge mit einer inneren Verknüpfung ∘: G x G -> G, die assoziativ ist und für die ein neutrales Element in G existiert. Außerdem gelte für alle a,b,c ∈ G, dass aus a ∘ b = a ∘ c auch b = c folgt. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.

wenn
a ∘ b = a ∘ c => b = c
dann existiert ein eindeutiges a´ so dass gilt
a ∘ b ∘ a´ = a ∘ c ∘ a´  => b = c
also nur dann wenn es ein eindeutiges rechts-Inverses a´ zu a gibt.
und dann ist auch aa´= e, denn
a ∘ a´ ∘ b = b
a ∘ a´ ∘ c = c

mein ich ;)

Das kann kein Beweis sein, weil du nicht benutzt, dass die Menge $G$ endlich ist, die Aussage für unendliche Mengen aber falsch ist.

Um konkreter auf deinen Ansatz einzugehen: Warum sollte so ein $a'$ existieren?
\(\endgroup\)


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sb997
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-31 09:51


Soweit ich das richtig verstehe, muss ich noch zeigen, dass es ein Inveres gibt, da die Abgeschlossenheit, die Assoziativität und neutrales Element schon gegeben ist. Richtig?
Was für mich bedeutet, dass dies der Antwort von juergenX schon nahe kommt.
Aber @Nuramon wie macht man es denn richtig?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-31 10:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Sei $a\in G$ beliebig. Wir wollen zeigen, dass es ein $a'\in G$ gibt mit $a\circ a'$ das neutrale Element von $G$ ist.

Betrachte hierzu die Linksmultiplikation mit $a$, also die Abbildung $l_a: G\to G, x \mapsto a\circ x $.
Welche Eigenschaft von $l_a$ kannst du aus der Voraussetzung $a\circ b = a\circ c \Rightarrow b = c$ folgern?
\(\endgroup\)


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sb997
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-31 10:35

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-07-31 10:24 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Sei $a\in G$ beliebig. Wir wollen zeigen, dass es ein $a'\in G$ gibt mit $a\circ a'$ das neutrale Element von $G$ ist.

Betrachte hierzu die Linksmultiplikation mit $a$, also die Abbildung $l_a: G\to G, x \mapsto a\circ x $.
Welche Eigenschaft von $l_a$ kannst du aus der Voraussetzung $a\circ b = a\circ c \Rightarrow b = c$ folgern?

Ich würde sagen, dass l_a = x ist bzw a' = x. Aber ehrlich gesagt bin ich mir echt unsicher
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-31 10:38

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)

Ich würde sagen, dass l_a = x ist bzw a' = x. Aber ehrlich gesagt bin ich mir echt unsicher
Das ergibt keinen Sinn. $l_a$ ist eine Abbildung, $x$ ein Element von $G$.

Kannst du die Gleichung $a\circ b = a \circ c$ durch $l_a$ ausdrücken?
\(\endgroup\)


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thureduehrsen
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Aus: Kiel, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-31 10:39

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo sb997,

2020-07-31 10:35 - sb997 in Beitrag No. 6 schreibt:
2020-07-31 10:24 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Betrachte hierzu die Linksmultiplikation mit $a$, also die Abbildung $l_a: G\to G, x \mapsto a\circ x $.
Welche Eigenschaft von $l_a$ kannst du aus der Voraussetzung $a\circ b = a\circ c \Rightarrow b = c$ folgern?

Ich würde sagen, dass l_a = x ist bzw a' = x. Aber ehrlich gesagt bin ich mir echt unsicher

nö.
Es ist \(l_a\) eine Abbildung, aber \(x\) ein Gruppenelement. Das passt also typmäßig nicht zusammen.

mfg
thureduehrsen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-31 12:08


Hallo und willkommen hier im Forum!

Ich versuche mich auch mal an einem kleinen "Anstupser": was sind denn so typische Eigenschaften einer Abbildung?

Nuramon hat dir die gesuchte Eigenschaft eigentlich schon auf dem Silbertablett serviert...


Gruß, Diophant



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sb997
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-31 14:46


Ich bin mir nicht sicher, ob es das ist was gemeint ist. Aber vielleicht könnte man mit der Bijektivität argumentieren und dann auch mit der Injektivität



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-31 14:51

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-07-31 14:46 - sb997 in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich bin mir nicht sicher, ob es das ist was gemeint ist. Aber vielleicht könnte man mit der Bijektivität argumentieren und dann auch mit der Injektivität

andersherum: zunächsteinmal ist die Abbildung \(l_a\) offensichtlich injektiv (mache dir jedoch klar, warum!). Jetzt musst du noch begründen, weshalb sie dann in diesem Fall auch surjektiv (und damit bijektiv) ist.


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)


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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-08-01 14:59

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-07-31 10:24 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Welche Eigenschaft von $l_a$ kannst du aus der Voraussetzung $a\circ b = a\circ c \Rightarrow b = c$ folgern?


Aus der Implikation $a\circ b = a\circ c \Rightarrow b = c$ folgt die Injektivität von $l_a$, denn das ist genau die Definition der Injektivität.
Oder $l_a(b) = l_a(c) \Rightarrow b=c$
Und da $l_a$ G in G abbildet, also in eine gleich grosse Gruppe folgt Surjektivität von $l_a$. Und auch von $\circ$, da a,b,c beliebig gewählt werden können.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-01 15:15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
@juergenX: Korrekt. Ich würde noch mehr betonen, dass die Surjektivität von $l_a$ wegen der Endlichkeit von $G$ aus der Injektivität von $l_a$ folgt (per Definition heißt eine Menge $X$ endlich, wenn jede injektive Abbildung $X\to X$ surjektiv ist.) Ist dir klar, wieso aus der Surjektivität die Existenz eines Inversen folgt?

Wozu du die Surjektivität von $\circ$ erwähnt hast, verstehe ich nicht. Übrigens folgt diese schon aus der Existenz eines neutralen Elements.
\(\endgroup\)


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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-08-01 23:34

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-08-01 15:15 - Nuramon in Beitrag No. 13 schreibt:
@juergenX: Korrekt.  Ist dir klar, wieso aus der Surjektivität die Existenz eines Inversen folgt?


ja.
da unser $\circ$ eine Bijektion ist gelten meine ich alle Gruppenregeln.
Insbesondere gilt, dass es ein Rechtsinverses zu jedem Bild c gibt, und wg. der Injektivitaet nur eines.
$(G,\circ)$ ist Gruppe und nicht nur Monoid.
\(\endgroup\)


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sb997 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sb997 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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