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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert Definition Funktionen
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Universität/Hochschule J Grenzwert Definition Funktionen
kalli50
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-31


Hallo zusammen,

Irgendwie habe ich gerade Probleme mit der Definition aus unserem Skript.
Hier die Definition:


fed-Code einblenden

Kann mir das vielleicht jemand anschaulicher erklären?

Lieben Dank im Voraus.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-31


Huhu kalli50,

diese Definition lässt ja vermuten, dass ihr schon was über Stetigkeit gelernt habt. Hier kommen nun 3 Funktionen:

1) \(g(x) :=
\begin{cases}
x^2  & \text{if } x \ne 2 \\
\text{undefined} & \text{if } x=2  \\
\end{cases}\)



2) \(g(x) :=
\begin{cases}
x^2  & \text{if } x \ne 2 \\
6 & \text{if } x=2  \\
\end{cases}\)



3)  \(g(x) :=
\begin{cases}
x^2  & \text{if } x \ne 2 \\
4 & \text{if } x=2  \\
\end{cases}\)



Zwei Funktionen sind an der Stelle \(x=2\) nicht stetig. Welche - und wieso? Eine Funktion ist an der Stelle \(x=2\) stetig. Hilft dir das für ein "anschauliches" Verständnis?

Gruß,

Küstenkind



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kalli50
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-01


2020-07-31 20:40 - Kuestenkind in Beitrag No. 1 schreibt:
Huhu kalli50,

diese Definition lässt ja vermuten, dass ihr schon was über Stetigkeit gelernt habt. Hier kommen nun 3 Funktionen:

1) \(g(x) :=
\begin{cases}
x^2  & \text{if } x \ne 2 \\
\text{undefined} & \text{if } x=2  \\
\end{cases}\)



2) \(g(x) :=
\begin{cases}
x^2  & \text{if } x \ne 2 \\
6 & \text{if } x=2  \\
\end{cases}\)



3)  \(g(x) :=
\begin{cases}
x^2  & \text{if } x \ne 2 \\
4 & \text{if } x=2  \\
\end{cases}\)



Zwei Funktionen sind an der Stelle \(x=2\) nicht stetig. Welche - und wieso? Eine Funktion ist an der Stelle \(x=2\) stetig. Hilft dir das für ein "anschauliches" Verständnis?

Gruß,

Küstenkind


Hallo und vielen Dank erstmal!

Also, die ersten beiden Funktionen sind nicht stetig, bei 1),weil sie bei 2 gar nicht definiert ist und bei 2), da man zb. Die Folge Xn=4=a nehmen würde und schaut, ob der Grenzwert von f(Xn) mit f(a) übereinstimmt, was natürlich hier nicht der Fall ist. Ich bin mir nicht 100% sicher, ob ich die Definition verstanden habe, aber bedeutetes dann prinzipiell, dass wir eben schauen ob denn dieser Grenzwert existieren kann und uns da mit dieser Funktion g „helfen“?
Ich danke dir auf jeden Fall für deine Bemühungen, auch wenn ich es nicht so gut erklären kann , glaube ich es verstanden zu haben 🤗

Ganz liebe Grüße,
Kalli50



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo kalli50,

die Aussage, dass die erste Funktion bei 2 nicht stetig sei, ist falsch.

Der vermutlich von Kuestenkind beabsichtigte Definitionsbereich dieser Funktion ist \(\mathbb {R}\setminus\{2\}\).

mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-01


2020-08-01 08:13 - thureduehrsen in Beitrag No. 3 schreibt:
die Aussage, dass die erste Funktion bei 2 nicht stetig sei, ist falsch.

Demnach wäre die Aussage, dass die erste Funktion bei 2 stetig sei, deiner Meinung nach richtig?

Oder gibt es deiner Meinung nach Aussagen $A$, für die "$A\lor\lnot A=\rm wahr$" nicht gilt?

Ich glaube, du verhedderst dich im Gestrüpp bedingter Definitionen...



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-01


Ich möchte lediglich darauf hinaus, dass die Funktion bei 2 nicht definiert ist und deswegen dort weder stetig noch unstetig ist.

mfg
thureduehrsen



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-01


Huhu,

@thureduehrsen:

Gib mal eine Quelle an für deine Sprechweise bitte; also wo gesagt wird, dass man über Stetigkeit an undefinierten Stellen nicht sprechen darf.

Du könntest ja hier mal bis 5:30 vorspulen und hören was Prof. Leonard seinen Studenten erzählt:



Den Fachbegriff liefert er doch gleich mit, die erste Funktion hat an der Stelle \(x=2\) eine hebbare Unstetigkeitsstelle (removable discontinuity). Es heißt aber nicht hebbare "wir dürfen nicht darüber reden, da die Funktion nicht definiert ist".

@kalli50:

Falls es dir auch nicht ganz klar ist, schau dir ruhig auch noch mal die Lecture an, gerade den Anfang. Da schreibt er noch mal die 3 Forderungen für Stetigkeit auf (da steckt ja der Grenzwertbegriff für Funktionen mit drin) und geht die Funktionsbilder durch.
Anschaulich gesprochen füllt man damit eben eine Lücke bzw. Unstetigkeitsstelle. Man sagt dann auch, die Funktion lässt sich in \(x=2\) stetig fortsetzen. Und diese Fortsetzung liefert eben genau der Grenzwert.

Gruß,

Küstenkind



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-01


2020-08-01 09:55 - Kuestenkind in Beitrag No. 6 schreibt:
Da schreibt er noch mal die 3 Forderungen für Stetigkeit auf

Die erste dieser drei Forderungen gehört allerdings nicht zur "Standarddefinition" der Stetigkeit in einem Punkt.

Üblicherweise beginnen diese Definitionen mit "eine Funktion ist stetig in einem Punkt $x$ ihres Definitionsbereiches, falls...". Das ist eine ganz typische bedingte Definition, die zu einem Punkt, der nicht zum Definitionsbereich gehört, keine Aussage macht. Wenn man diese Standarddefinition verwendet, ergibt es keinen Sinn, über die Stetigkeit in einem Punkt außerhalb des Definitionsbereichs zu reden (vgl. etwa hier; der Satz, dass die Frage nach der Stetigkeit außerhalb des Definitionsbreichs "is like asking what's the preferred food of unicorns" bringt die Sache sehr schön auf den Punkt).

Natürlich kann man willkürlich definieren "überall außerhalb ihres Definitionsbereiches ist eine Funktion unstetig" (wie das in dem YouTube-Video gemacht wird), aber man könnte auch das Gegenteil festschreiben. Üblich ist beides nicht.

@kalli50: Für deine Frage ist diese Diskussion zum Glück völlig irrelevant.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-01


Huhu,

@zippy: Ja - Danke. Ich habe eben dazu noch folgenden Artikel gefunden (dort werden beide Definitionen nett gegenübergestellt): "CONTINUOUS PROBLEM OF FUNCTION CONTINUITY" (zu lesen über JSTOR). Daraus:



Das muss denn kalli50 sagen, welche Definition dort benutzt wird.

Gruß,

Küstenkind



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-01


2020-08-01 11:44 - Kuestenkind in Beitrag No. 8 schreibt:
@zippy: Ja - Danke. Ich habe eben dazu noch folgenden Artikel gefunden (dort werden beide Definitionen nett gegenübergestellt): "CONTINUOUS PROBLEM OF FUNCTION CONTINUITY" (zu lesen über JSTOR). Daraus:

Ich kenne es auch so, dass eine Unstetigkeitsstelle zum Definitionsbereich der Funktion gehören muss. Ansonsten gäbe es ja für keine Funktion f die "Menge der Unstetigkeitsstellen von f". Und jede reelle Funktion wäre in Bielefeld unstetig, das Bielefeld nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört.



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zippy
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2020-08-01 11:44 - Kuestenkind in Beitrag No. 8 schreibt:
Das muss denn kalli50 sagen, welche Definition dort benutzt wird.

Für die Frage aus dem Themenstart spielt es keine Rolle, welche Definition er verwendet.

Deshalb würde ich vorschlagen, das pathologische Beispiel 1 einfach wieder zu vergessen.



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Kuestenkind
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Huhu zippy,

Ja - das ist mir schon klar. Und ja - Ich stimme dir zu, dass Beispiel 1 dann wohl schlecht von mir gewählt war und besser wieder zu vergessen ist. Ich wollte halt einfach "anschaulich" erklären, dass hier eine Lücke "passend" geschlossen wird - eine andere "anschauliche" Erklärung ist mir nicht eingefallen.

Ich hätte wohl einfach besser nichts schreiben sollen - aber gut, nun ist es zu spät...

Gruß,

Küstenkind



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thureduehrsen
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2020-08-01 09:55 - Kuestenkind in Beitrag No. 6 schreibt:

Gib mal eine Quelle an für deine Sprechweise bitte; also wo gesagt wird, dass man über Stetigkeit an undefinierten Stellen nicht sprechen darf.

das habe ich aus

Karlheinz Weber, Wolfgang Zillmer (Hrsg.): TCP 2001 Mathematik. Leistungskurs. Lehrbuch. Paetec Schulbuchverlag, Berlin 2001, ISBN 978-3-89818-100-6.

Seitenzahl habe ich gerade nicht parat.

Ich gebe aber zu, dass man sich über das Thema trefflich streiten kann 😎

mfg
thureduehrsen



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-01


Ich wurde darauf hingewiesen, dass noch Klärungsbedarf besteht.

Feuer frei!

mfg
thureduehrsen



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StrgAltEntf
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2020-08-01 09:55 - Kuestenkind in Beitrag No. 6 schreibt:
Gib mal eine Quelle an für deine Sprechweise bitte; also wo gesagt wird, dass man über Stetigkeit an undefinierten Stellen nicht sprechen darf.

H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Kap. V 34:

"In diesen Zusammenhang gehört auch der Hinweis, dass unsere Definition nur von Stetigkeit in Punkten des Definitionsbereichs einer Funktion spricht, auf Punkte außerhalb dieses Bereichs kann der Stetigkeitsbegriff gar nicht angewandt werden. Die Funktion \(x\mapsto1/x\) ist auf \(\IR\setminus\{0\}\) definiert, ihr Graph ist in 0 "zerrissen", sie ist aber im Punkt 0 nicht unstetig - sondern nur nicht definiert."



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Hallo alle,

Sehr interessant diese Diskussion 😃. Wir hatten bei uns in der Vorlesung tatsächlich noch gar keine stetige Fortsetzung, hebbare Lücken etc. aber das Argument, dass Funktionen dort, wo sie nicht definiert sind nicht direkt unstetig sind kann ich durchaus nachvollziehen und werde es nicht mehr so bezeichnen. Ich möchte euch allen danken, dass ihr mir so geholfen habt !🙂



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