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Mathematik » Stochastik und Statistik » Konvergenz eines Produktes von Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule Konvergenz eines Produktes von Zufallsvariablen
Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-01 23:29


Hallöchen,

ich sitze seit Stunden an einer Aufgabe aus dem Internet (ohne Lösung): Seien $\xi_1,\xi_2,...$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit $P(\xi_1 = \frac{3}{2}) = P(\xi_1 = \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$, definiere $X_n = \xi_1\cdot ... \cdot \xi_n$, $X_0 = 1$ für $n\in\mathbb{N}$.

Gefragt ist nun nach dem fast sicheren Grenzwert von $(X_n)_{n\in\mathbb{N}} $ für $n\rightarrow \infty$, sowie ob die Folge $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ gleichgradig integrierbar ist. Mir persönlich geht es erstmal um die erste Frage, denn ich habe wirklich gar keine Ahnung, wie ich den Grenzwert eines Produktes von ZV bestimmen soll.

Ich habe schon probiert, den Logarithmus anzuwenden, aber das hat nichts fruchtbares geliefert. Außerdem sind $\mathbb{E}(|X_n|) = 1$ und $\mathbb{E}(|X_n|^2) = (\frac{5}{4})^n$, mit der Tschebyscheff-Ungleichung lässt sich hier also auch nichts erreichen.

Nun wäre ich sehr an einer Lösung interessiert, denn ich verzweifle hier.
Liebe Grüße,
Martin



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-02 01:50


Hey Nuke_Gunray,

ich würde es noch einmal mit dem Logarithmus probieren. Wo genau kamst du denn nicht weiter?



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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02 10:08


Hi Kampfpudel,

also, mein größtes Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich die Gesetze für konvergente Zufallsvariablen auch übernehmen darf für bestimmt divergente Zufallsvariablen. In diesem Fall: Setze $Y_n := \ln(X_n)$, dann ist wegen der Definition von $X_n$ also $Y_n = \sum\limits_{k=1}^n \ln(\xi_k)$.

Dementsprechend: $\mathbb{E}[Y_n] = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2}\cdot(\ln(\frac{1}{2})+\ln(\frac{3}{2}) = \frac{n}{2}\underbrace{\ln(\frac{3}{4})}_{<0}$.

Also ist $Y \overset{L^1}{\rightarrow} -\infty$. Darf ich daraus wie im Falle konvergenter Zufallsvariablen folgern, dass $Y \overset{P}{\rightarrow} -\infty$, bzw. aufgrund der Unabhängigkeit der $\ln(\xi_k)$ hieraus $Y_n \overset{\text{f.s.}}{\rightarrow} -\infty$?

Falls ja, darf ich jetzt z.B. das Continuous Mapping Theorem anwenden und folgern, dass $X_n = e^{Y_n}\overset{\text{f.s.}}{\rightarrow} 0$?

Ich schätze mal, ich darf das alles nicht so anwenden, aber dann weiß ich echt nicht, wie ich weiterkommen soll.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-02 14:18


Das darfst du in der Tat so nicht machen bzw. so nicht hinschreiben.
Aber was kannst du denn sagen, wenn du dir mal \(\frac{1}{n} Y_n\) anschaust?



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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02 18:11


Hi Kampfpudel,

wenn ich $\frac{1}{n}Y_n$ betrachte, folgt natürlich $\frac{1}{n}Y_n \overset{\text{f.s.}}{\rightarrow} \sqrt{3/4}$, also nach dem Continuous Mapping Theorem $(X_n)^{1/n} \overset{\text{f.s.}}{\rightarrow} \sqrt{3/4}$. Folgt damit, dass $X_n$ sich verhält wie $(\sqrt{3/4})^n$ und deshalb gegen 0 geht?




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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-02 19:55


Du meinst sicher, dass \(\frac{1}{n} Y_n\) f.s. gegen \(\ln(\sqrt{\frac{3}{4}})\) konvergiert.

2020-08-02 18:11 - Nuke_Gunray in Beitrag No. 4 schreibt:
Folgt damit, dass $X_n$ sich verhält wie $(\sqrt{3/4})^n$ und deshalb gegen 0 geht?


Im Prinzip ja. Das müsstest du aber noch kurz analytisch begründen



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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02 21:07


Hallo Kampfpudel,

vielen Dank! Aber wie genau würdest du das analytisch begründen? Ich meine, nur weil wir den Grenzwert von $(X_n)^{1/n}$ kennen, können wir ja noch nicht unbedingt etwas über $X_n$ sagen.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-02 21:49


Naja du weißt ja, dass \((X_n)^{\frac{1}{n}}\) f.s. gegen \(\sqrt{\frac{3}{4}} < 1\) konvergiert. Damit sind fast alle Folgenglieder von \((X_n)^{\frac{1}{n}}\) f.s. kleiner gleich der Konstanten \(\frac{1 + \sqrt{\frac{3}{4}}}{2} \), die wiederum kleiner als \(1\) ist...



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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04 11:05


Ah, vielen Dank!



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