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Universität/Hochschule J Uneigentliches Integral, Cauchy-Folge und Abzählbarkeit
NIck1234
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-02


Hallo :)

Ich lerne grade für eine Analysis Klausur und komme bei ein paar Aufgaben nicht weiter:

1) Ist f:R->[0, fed-Code einblenden
fed-Code einblenden fed-Code einblenden fed-Code einblenden
so existiert das uneigentliche Integral
fed-Code einblenden

Hier habe ich so gut wie keine Idee wie ich das zeigen kann. Erst habe ich gedacht, dass ich das Integral mit dem Mittelwertsatz umschreiben kann, aber ich habe keine Ahnung wie ich dann das e aus der Abschätzung da rein bekommen soll :/

2) Es sei (a)n fed-Code einblenden fed-Code einblenden

rm= fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
eine Nullfolge, dann definiert
sm= fed-Code einblenden
eine Cauchyfolge?
Ich bin mir nicht sicher ob sm eine Teilfolge von rm ist, wenn ja wäre es wohl eine Cauchyfolge, oder?

3) M={(k)^n/2, n,k fed-Code einblenden
Hier hätte ich nein gesagt, weil ich glaube ich hätte nur dann eine bijektion zwischen N und M, wenn k fest wäre.
Da dies nicht der Fall ist muss es überabzählbar sein, oder?

Ich weiß, das waren jetzt vielleicht ein paar Fragen zu viel aufeinmal, aber ich hoffe es schaut sich trotzdem jemand an.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-02


2020-08-02 15:33 - NIck1234 im Themenstart schreibt:
aber ich habe keine Ahnung wie ich dann das e aus der Abschätzung da rein bekommen soll :/

Aus dieser Abschätzung folgt $|f(x)|=f(x)\le e^{-x}$.

2020-08-02 15:33 - NIck1234 im Themenstart schreibt:
Ich bin mir nicht sicher ob sm eine Teilfolge von rm ist, wenn ja wäre es wohl eine Cauchyfolge, oder?

$(s_m)$ ist keine Teilfolge von $(r_m)$, aber das ist auch für die Frage überhaupt nicht relevant.

2020-08-02 15:33 - NIck1234 im Themenstart schreibt:
Hier hätte ich nein gesagt, weil ich glaube ich hätte nur dann eine bijektion zwischen N und M, wenn k fest wäre.

Ist $\mathbb N^2$ abzählbar?

--zippy



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NIck1234
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02


Danke Zoppy für deine Antwort.

1) Das heißt ich löse das Problem indem ich e^-x als konvergente Majorante nehme?

2) Wie löse ich dann die Aufgabe?

3) Das weiß ich leider nicht. So wie du es sagst wahrscheinlich schon. Aber ich habe keine Anschauung warum das so ist.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-02


2020-08-02 15:57 - NIck1234 in Beitrag No. 2 schreibt:
1) Das heißt ich löse das Problem indem ich e^-x als konvergente Majorante nehme?

Wenn du so fragst, bist du dir offenbar nicht sicher. Schlag am besten in deinen Unterlagen den Satz nach, der hier anzuwenden ist.

2020-08-02 15:57 - NIck1234 in Beitrag No. 2 schreibt:
2) Wie löse ich dann die Aufgabe?

Schreib die Bedingung dafür hin, dass $(s_m)$ eine Cauchyfolge ist, und bringe das, was dann $<\varepsilon$ sein soll, mit $(r_m)$ in Verbindung.

2020-08-02 15:57 - NIck1234 in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber ich habe keine Anschauung warum das so ist.

Das werdet ihr sicher irgendwann mit einem Diagonal-Argument schon gezeigt haben. Schau mal in deine Unterlagen.



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NIck1234
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02


1) Es hat funktioniert e^-x als konvergente Majorante zu nehmen, da diese tatsächlich konvergiert mit einem Grenzwert von -(1/e)

2) Ich habe jetzt benutzt, dass rm dann konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen von rm konvergiert. Diese Konvergiert, dann nach dem Cauchykriterium. Und da sm eine Folge der Partialsummen von rm ist, müsste sm eine Cauchyfolge sein, richtig?

3) Hier fällt es mir immer noch schwer. Ich weiß, dass eine Menge abzählbar ist, wenn sie gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen ist. Und gleichmächtig sind sie, wenn ich eine Bijektion zwischen den Natürlichen Zahlen und der betreffenden Menge habe. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich eine solche Bijektion finden soll.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-02


2020-08-02 17:50 - NIck1234 in Beitrag No. 4 schreibt:
Und da sm eine Folge der Partialsummen von rm ist, müsste sm eine Cauchyfolge sein, richtig?

$(s_m)$ ist keine Folge von Partialsummen von $(r_m)$. [Vielleicht meinst du ja etwas anderes.]

Ich komme nochmal hierauf zurück:

2020-08-02 16:14 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Schreib die Bedingung dafür hin, dass $(s_m)$ eine Cauchyfolge ist, und bringe das, was dann $<\varepsilon$ sein soll, mit $(r_m)$ in Verbindung.

Die Bedingung dafür, dass $(s_m)$ eine Cauchyfolge ist, lautet $
\forall\varepsilon>0\,\exists N:\left|s_k-s_m\right|<\varepsilon\hbox{ für }k>m>N$. Nun ist $\left|s_k-s_m\right|=\left|\sum_{n=m+1}^ka_n\right|=|r_{m+1}-r_{k+1}|\le|r_{m+1}|+|r_{k+1}|$ und jetzt kannst du $r_j\to0$ ins Spiel bringen.

2020-08-02 16:14 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich eine solche Bijektion finden soll.

Wenn du das nicht in deinen Unterlagen findest, google einfach mal nach "Cantors erstes Diagonalargument".



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Diophant
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Hallo und willkommen hier im Forum!

2020-08-02 17:50 - NIck1234 in Beitrag No. 4 schreibt:
3) Hier fällt es mir immer noch schwer. Ich weiß, dass eine Menge abzählbar ist, wenn sie gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen ist. Und gleichmächtig sind sie, wenn ich eine Bijektion zwischen den Natürlichen Zahlen und der betreffenden Menge habe. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich eine solche Bijektion finden soll.

Wie zippy schon gesagt hat: darum geht es hier nicht. Aber als Ergänzung hier noch ein Link zu einer solchen Bijektion.

Für die Zukunft: eröffne am besten für jede Frage einen eigenen Thread, dann kann man die Dinge besser auseinanderhalten. Und im Sinne der hiesigen Suchfunktion ist das auch besser.


Gruß, Diophant



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo,

3) M={(k)^n/2, n,k fed-Code einblenden ist abzählbar.
Es fällt mir schwer, zu sagen, die Abzählbarkeit welcher Menge hier gezeigt werden soll.

2020-08-02 17:50 - NIck1234 in Beitrag No. 4 schreibt:

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich eine solche Bijektion finden soll.

Das geht relativ schnell (wenn auch der Beweis nicht ganz einfach ist), wenn man etwa das Standardbeispiel \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) hernimmt, das zippy schon erwähnt hatte:

Die Menge $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ können wir uns als ein unendliches Gitter von Punkten vorstellen, die alle im gleichen Abstand nebeneinander liegen, nur jetzt sowohl nach links und nach rechts, als auch nach oben und nach unten. Wir sind also versucht zu sagen: Die Menge $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ hat "unendlich mal unendlich" viele Elemente (unendlich viele Reihen von Punkten, und in jeder Reihe unendlich viele Punkte), und es gibt deswegen keine Bijektion zwischen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$.

Tatsächlich gibt es aber doch eine Bijektion zwischen diesen Mengen!

Ich behaupte, dass die Funktion $\varphi:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, die für alle $m,\,n\in\mathbb{N}$ durch \[ \begin{array}{rcl} (m,\,n) &\mapsto&\dfrac{(m+n)(m+n+1)}{2}+m \end{array} \] definiert ist, das Gewünschte leistet.

[...]

Die Idee, mit Dreieckszahlen zu arbeiten, ergibt sich fast zwangsläufig, wenn man in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem die horizontale Achse mit $m$ und die vertikale Achse mit $n$ beschriftet und am Schnittpunkt $(m,\,n)$ den Wert $\langle m,\,n\rangle$ einträgt -- die dann abzulesende Folge $0,\,1,\,3,\,6,\,10,\,15,\,21,\,\ldots$ entlang der Vertikalen ist augenfällig genug, und die aufsteigenden $\varphi$-Bilder entlang der Parallelen zur Nebendiagonalen legen sofort nahe, die erste Komponente des Urbildes zu erhalten, indem man [passend viele] Schritte von der Vertikalen, die einer Dreieckszahl entspricht, nach rechts geht, und die zweite Komponente zu erhalten, indem man genauso viele Schritte nach unten geht.

Siehe hier ab S. 19.
Wer mich dabei unterstützen mag, meine verstreuten Notizen zur Injektivität in einen druckreifen Text zu verwandeln, melde sich ;)

mfg
thureduehrsen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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NIck1234
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02


Vielen Dank für die Antworten.
3)
"Wie zippy schon gesagt hat: darum geht es hier nicht. Aber als Ergänzung hier noch ein Link zu einer solchen Bijektion." -Diophant

Was ist damit gemein? Wenn ich keine Bijektion finden soll was muss ich dann machen?


2)
Hier verstehe ich leider nicht wie Zippy auf diesen Schritt kommt:
fed-Code einblenden



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmals,

2020-08-02 19:36 - NIck1234 in Beitrag No. 8 schreibt:
Vielen Dank für die Antworten.
3)
"Wie zippy schon gesagt hat: darum geht es hier nicht. Aber als Ergänzung hier noch ein Link zu einer solchen Bijektion." -Diophant

Was ist damit gemein? Wenn ich keine Bijektion finden soll was muss ich dann machen?

Der Verweis auf das erste Cantorsche Diagonalargument ist die gesuchte Bijektion \(\IN\to \IN^2\). Und diese Materie sollte eigentlich im Rahmen solcher Aufgaben bekannt sein, so dass man darauf zurückgreifen darf (und soll). So war das gemeint.

2020-08-02 19:36 - NIck1234 in Beitrag No. 8 schreibt:
2)
Hier verstehe ich leider nicht wie Zippy auf diesen Schritt kommt:
fed-Code einblenden

Na ja, es ist ja

\[\sum_{n=m+1}^k a_n=\sum_{n=m+1}^{\infty} a_n-\sum_{n=k+1}^{\infty} a_n=r_{m+1}-r_{k+1}\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-02 19:46 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
\[\sum_{n=m+1}^k a_n=\sum_{n=m+1}^{\infty} a_n-\sum_{n=k+1}^{\infty} a_n=r_{k+1}-r_{n+1}\]

\[\sum_{n=m+1}^k a_n=\sum_{n=\color{red}{m+1}}^{\infty} a_n-\sum_{n=\color{blue}{k+1}}^{\infty} a_n=r_{\color{red}{m+1}}-r_{\color{blue}{k+1}}\]
\(\endgroup\)


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@zippy:
Danke für die Korrektur, ich hab es oben jetzt korrigiert.

Da bin ich mit C&P durcheinandergekommen...


Gruß, Diophant



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NIck1234
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Vielen Dank :)
Ich denke jetzt habe ich es endlich verstanden.



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