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Analysis » Integration » Kurvenintegrale auf zwei Arten
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Universität/Hochschule Kurvenintegrale auf zwei Arten
siacs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-03


Hallo,

gegeben sei das reguläre Gebiet
\(G = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: |x| < y < 1\}\),

das blau hinterlegte Dreieck:


Ich habe das Kurvenintegral

I = \( \int_{\partial G} \left( \frac{8}{3} x^3 - 16xy^2 + e^{y^2}\right) \mathrm{d}y + \left(\arctan\left(x^2 + \sin(x)\right)-6xy^2\right) \mathrm{d}x\)

nun auf zwei Arten berechnet:

1) Mit Satz von Gauß in der Ebene

Mit dem Vektorfeld
\(F(x,y) = \begin{pmatrix}\frac{8}{3} x^3 - 16xy^2 + e^{y^2}\\
6xy^2 - \arctan\left(x^2 + \sin(x)\right)\end{pmatrix}
\)
folgt
\(\begin{align} I &= \int_G \mathrm{div} F(x,y) \mathrm{d}(x,y)\\
     &= \int_{-1}^1 \int_{|x|}^1 8 x^2 + 12 x y - 16 y^2 \mathrm{d}y\mathrm{d}x\\
     &= -\frac{20}{3}
\end{align}\)

2) Als Kurvenintegral

Zur Überprüfung, ob das Ergebnis stimmt, habe ich versucht das Kurvenintegral numerisch direkt zu lösen.

Rand von G
\(\partial G = \Gamma_1 \cup \Gamma_2 \cup \Gamma_3 \),
wobei die Randstücke parametrisiert werden durch
\(\gamma_1: \begin{cases} t \mapsto (1-2t, 1)\\
                      [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{cases} \quad
\gamma_2: \begin{cases} t \mapsto (t-1, 1-t)\\
                      [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{cases} \quad
\gamma_3: \begin{cases} t \mapsto (t, t)\\
                      [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{cases}\)


Wobei für die Ableitungen entsprichend gilt
\( \dot\gamma_1(t) = (-2, 0)\quad \dot\gamma_2(t) = (1,-1)\quad  \dot\gamma_3(t)=(1,1)\)
\( ||\dot\gamma_1(t)|| = 2\quad ||\dot\gamma_2(t)|| = \sqrt2\quad ||\dot\gamma_3(t)||=\sqrt2\)

Dann ist das entsprechende Einheitsnormalenfeld
\( N_1 = (0, 1)\quad N_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (-1, -1)\quad N_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,-1)\)

Damit folgt
\( \begin{align} I &= \int_G \mathrm{div} F(x,y) \mathrm{d}(x,y)\\
                   &= \int_{\partial G} \langle F, N \rangle_{\mathbb{R}^2} \mathrm{d}\sigma\\
                   &= \sum_{i=1}^3 \int_0^1 \langle F, N_i \rangle(\gamma_i(t)) ||\dot\gamma_i(t)||\mathrm{d}t
 \end{align}
\)

Damit komme ich dann aber auf \(I = -5.535 \ne \frac{-20}{3}\).


Wahrscheinlich mache ich bei Weg 2) etwas grundlegend falsch 😖. Über Hinweise und Korrekturen würde ich mich freuen. 🙂



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-04


Huhu siacs,

herzlich willkommen auf dem Planeten! Du hast die Wege doch richtig parametrisiert. Für den ersten Weg hast du ja \(x=1-2t\) und somit \(\dd x= -2\dd t\) und \(y=1\) und somit \(\dd y= 0 \dd t\). Für den zweiten Weg \(x=t-1\) und \(\dd x= \dd t\) und \(y=1-t\) und somit \(\dd y= -\dd t\). Für den dritten Weg genauso. Dieses einfach in \(\int_{\partial G} \left( \frac{8}{3} x^3 - 16xy^2 + e^{y^2}\right) \mathrm{d}y + \left(\arctan\left(x^2 + \sin(x)\right)-6xy^2\right) \mathrm{d}x\) einsetzen und du landest auch bei deinem gewünschten Ergebnis (vorausgesetzt du durchläufst dein Dreieck gegen die Uhr).

Gruß,

Küstenkind



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-04


Bei 1) stimmt übrigens schon die Divergenz nicht (müsste $-12xy$ statt $+12xy$ sein) und das Schlussergebnis ist sogar mit beiden Varianten falsch.

Das Ergebnis stimmt, aber die untere Grenze des äusseren Integrals ist falsch.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-05


Huhu traveller,

dann sage doch bitte mal, was du für den Integralwert bekommst. #1 beschreibt einen Weg, bei dem ebenfalls die \(-\frac{20}{3}\) rauskommt, welche siacs ja beim ersten Weg auch stehen hat. Siehe auch dort:



Es ist:

\(\displaystyle \int_{\partial G} \left( \frac{8}{3} x^3 - 16xy^2 + e^{y^2}\right) \mathrm{d}y + \left(\arctan\left(x^2 + \sin(x)\right)-6xy^2\right) \mathrm{d}x=\int_0^1 \int_{-y}^y \left(8 x^2 + 12 x y - 16 y^2\right) \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y=-\frac{20}{3}\)

Gruß,

Küstenkind



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-05


Ja, da hab ich was falsch abgeschrieben. Allerdings ist die untere Grenze des äusseren Integrals falsch. Das Resultat stimmt aber.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-05


Stimmt - da gehört natürlich \(-1\) hin. Ist mir auch durchgerutscht. Da das Resultat stimmt, ist es vermutlich aber nur ein Schreibfehler. Danke für den Hinweis.

Gruß,

Küstenkind



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siacs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-05


Die \(0\) war tatsächlich ein Tippfehler.

Zu #2, danke, ich denke, dass ich es jetzt verstanden habe:

\(
\begin{align}
\int_{\partial G} F_1(x,y) \mathrm{d}y - F_2(x,y) \mathrm{d}x
&= \sum_i \int_{\Gamma_i} F_1(\gamma_{i}(t))\cdot \dot\gamma_{i,2}(t) \mathrm{d}t - F_2(\gamma_{i}(t))\cdot \dot\gamma_{i,1}(t) \mathrm{d}t
\\
&= \sum_i \int_{\Gamma_i} \left\langle F(\gamma_{i}(t)), \begin{pmatrix} -\dot\gamma_{i,2}(t)\\ \dot\gamma_{i,1}(t)\end{pmatrix} \right\rangle  \ \mathrm{d}t
\\
&= \sum_i \int_{\Gamma_i} \left\langle F(\gamma_{i}(t)),\frac{1}{||\dot\gamma_i(t)||} \begin{pmatrix} -\dot\gamma_{i,2}(t)\\ \dot\gamma_{i,1}(t)\end{pmatrix} \right\rangle \ ||\dot\gamma_i(t)|| \ \mathrm{d}t
\\
&= \sum_i \int_{\Gamma_i} \left\langle F(\gamma_{i}(t)),N \right\rangle \ ||\dot\gamma_i(t)|| \ \mathrm{d}t
\\
&= \int_{\partial G} \left\langle F ,N \right\rangle \ \mathrm{d}\sigma
\end{align}
\)


Damit und nach bereinigen sämtlicher Tippfehler beim numerischen Solver, kommt nun das korrekte Ergebnis über beide Verfahren heraus: \(I=-\frac{20}{3}\).



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-05


2020-08-05 13:26 - siacs in Beitrag No. 6 schreibt:
[...] und nach bereinigen sämtlicher Tippfehler beim numerischen Solver [...]

Hehe, ich musste meine Eingabe auch dreimal durchgehen, bis ich bemerkt hatte, dass ich bei Weg 3 \(\sin(t^2)\) statt \(\sin(t)\) eingegeben hatte.

Gruß,

Küstenkind

PS: Statt \mathrm{d}t kannst du hier auch einfach (kürzer) \dd t eingeben. Siehe:

LinkMatheformeln mit MathML



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