Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Integration » Komplexwertige Funktionen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Komplexwertige Funktionen
joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.08.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-04


Hi,
ich hab hier eine Klausuraufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme.

Sei z = x + iy

Gegeben sei die Funktion g(z) = (1-2z) / [z*(z-1)(z-3)]

1. Bestimmen sie die Polstellen der Funktion in der komplexen Ebene.
2. Berechnen sie das Integral für g(z)dz entlang eines Kreises in der komplexen Ebene mit Radius 2 um den Ursprung der im mathematische positiven Sinn umlaufen wird (entgegen des Uhrzeigersinns).

Bei 1. ist das dann doch einfach z1 = 0, z2 = 1, z3 = 3, oder?
Bei 2. hab ich leider gar keinen Durchblick, ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen 😄

Mfg,

Joja2020



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-04


Hallo,

Ist der Residuensatz bekannt?
Falls ja, wird das Beispiel viel einfacher.

Grüße von BigR2020



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.08.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Hi,

wir haben den Residuensatz leider nur sehr kurz überflogen. Aber ich kann mir zumindest was drunter vorstellen 😄



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.08.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Also der Residuensatz lautet ja
\(\int g(z)dz = 2\pi i * \sum (Residuum)\)


Aber wie komme ich auf die einzelnen Residuen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-04


Unter findet sich eine entsprechende Formel. Die sollte man anwenden dürfen, wenn sie Teil des Unterrichts ist.

Gruß von BigR2020



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.08.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Ok, nach der Formel (29) würde dann jeweils der vordere Teil der Gleichung verschwinden und nur noch f(z) * (z-a) dran stehen. Richtig?
Ich würde jetzt für a jeweils die Polstellen eingeben und danach den Residuensatz anwenden. Passt das?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-04


Ja, so würde ich es machen.

Gruß von BigR2020



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.08.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Kannst du mir zeigen was du dabei rausbekommst? Bei mir wird das dann zu ner ziemlich ekligen Gleichung😮



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1749
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-05


Huhu joja2020,

vielleicht schaust du nochmal in dein Skript oder dort:

LinkKurvenintegral mit Residuensatz berechnen

Dort habe ich richtige Definitionen und Regeln aus einem Mathematik-Buch verlinkt. Die Schreibweise in (29) halte ich für falsch (notieren Physiker so einen Grenzwert?), in (28) fehlt auch, dass der Weg einfach(!) geschlossen, also eine Jordan Kurve ist. Den Rest vom Dokument habe ich mir nicht angeschaut.

Kommst du mit diesen Regeln besser klar? Falls nicht - zeige deine Rechnung und wo es hakt. Benutze in diesem Fall aber bitte \(\LaTeX\).

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.08.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-05


Hi,

also darf ich nur die Pole z = 0 und z = 1 verwenden?
In dem Fall erhalt ich fürs erste Residuum \(\frac{1}{3}\) und fürs zweite Residuum \(\frac{1}{2}\).
Mein Integral wird dann zu \(\int g(z)dz = 2\pi i *\frac{5}{6}\).
Das schaut schon deutlich besser aus 😄.
Kommst du auf das gleiche?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1749
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-05


Huhu joja2020,

ja und ja.

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.08.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-05


Super, vielen Dank für die Hilfe😄



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
traveller
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2557
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-08-05


Vielleicht noch ein Hinweis zur 1.: An einer Klausur müsste man wohl noch genauer begründen, wieso gerade diese tatsächlich alle drei Polstellen sind, unter Berücksichtigung des Zählers.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-05


Genau genommen hat auch die Angabe Schwächen, weil nicht angegeben ist, wie oft der Kreis durchlaufen wird. Komplexe Integrale ohne Kurven sind etwas problematisch.

Gruß von BigR2020



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
joja2020 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
joja2020 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
joja2020 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]