Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » Schatzsuche im Dreieck
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Schatzsuche im Dreieck
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 454
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-07


Eine der schönsten Geometrie-Aufgaben, die ich kenne:



Gesucht ist das Längenverhältnis   \(\frac{\vert KM\vert}{\vert LM\vert}\)   ...

Wer Figur und Lösung bereits kennt, halte sich bitte vornehm in sich hinein schmunzelnd zurück!

Lösungen oder Lösungsansätze bitte zunächst als persönliche Nachricht an mich! Danke.

Liebe Grüße und viel Freude beim Knobeln 😉



p.s. Nachtrag Sonntag Mittag:
Bislang haben mich vier richtige Lösungen erreicht. Ich bitte diejenigen, welche Figur und Lösung kennen, gerne ihre eigenen Ansätze an mich zu posten. Vielleicht ist ja ein bahnbrechend neuer dabei!? Für jene, denen die Knobelei "zu schwer" erscheint[!], ein kleiner Tipp: Welche Linie fehlt denn der Grafik offensichtlich zur symmetrischen Vollständigkeit, und was könnte man damit wohl anfangen? 😎


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Deine Lösung nicht direkt im Forum posten darfst.
Sende stattdessen Deine Lösung als private Nachricht an den Themensteller. Benutze dazu den Link 'Privat', den Du unter seinem Beitrag findest.
Der Themensteller wird zu gegebener Zeit über eingesandte (richtige) Lösungen informieren
und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 454
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-26


[Aufruf]
Im Rahmen einer anderen Knobelaufgabe hat mir [StrgAltEntf] die "7-Tage-Regel" in Erinnerung gerufen...
Ich bekenne, dass ich es hier verabsäumt habe, die Gemeinschaft zeitnah über den Eingang korrekter Lösungen auf dem laufenden zu halten. Sorry!
Leider sind nun mittlerweile einige von mir während der Hitzeperiode nachlässigerweise nicht gesicherte Nachrichten... verschütt' gegangen.

Ihr, die Ihr bereits Lösungen eingesandt hattet:
Würdet Ihr die bitte nochmal kurz ein zweites Mal an mich senden?!
Danke für Euere Nachsicht 🙄


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 454
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-29


Guten Morgen und danke für Euere Rückmeldungen!

Bisherige erfolgreiche Lösungen:
1. Squire am Freitag, 7.8., um 8:57 h
2. Diophant am Freitag, 7.8., um 12:37 h ; im zweiten Anlauf
3. Hans-Juergen am Samstag, 8.8., um 19:28 h
4. MartinN am Samstag, 8.8., um 22:57 h
5. JoeM am Dienstag, 11.8., um 2:25 h
6. DerEinfaeltige am Donnerstag, 27.8., um 13:50 h ; im zweiten Anlauf

Ich werde mit meiner "Musterlösung" gerne noch bis nach Ende der Sommerferien in Süddeutschland zuwarten...

Allen Knoblern weiterhin viel Erfolg!


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 454
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06


Letzter Aufruf ;) Nächstes Wochenende wird aufgelöst!

Grundsätzlich würde ich mich zu meinen Kobelaufgaben auch über Rückfragen oder Kritiken von wegen "Schweregrad" freuen. Es soll ja möglichst vielen Vergnügen bereiten!


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Hans-Juergen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.03.2003
Mitteilungen: 1415
Aus: Henstedt-Ulzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-14


Ähm. Welches Wochenende ist gemeint?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 454
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-14


Jaaa-haaa... Lösung verschiebt sich noch um ein/zwei Tage!

Das tolle Wetter 😎 und gewisse Verschiebungen sind dazwischengekommen 😉

p.s.
LaTex und berufliche Termine haben mich weiter ausgebremst 🙄
Heute (Fr, 18.9.) Abend gibt's die Lösung!


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 454
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18


Mit gelinder Verspätung nun also im folgenden meine "Musterlösung".
Samt Vorgeschichte...

Einer der besten Mathe-Lehrer, die ich je hatte, war eine Lehrerin: Hildegard Graef.
Eine resolute Dame mittleren Alters und siebenbürgischer Provenienz.
Ihrem entsprechend unverkennbaren Akzent nach käme sie sogar als einstige Lehrmeisterin von "Graf Zahl" aus der Sesamstraße in Frage.
1982, achte Klasse Gymnasium, hatte sie mich vorwitzigen Bengel mit der gestellten
Knobelaufgabe in die Weihnachtsferien geschickt.
Frau Graef, wo und wie auch immer Sie sind: Meine Ehrerbietung!

Der Ordnung halber noch ein paar Bemerkungen zur Lösung:
Es ist Sorgfaltspflicht, eingangs klarzustellen, dass es sich bei dem gelben Sechseck um ein regelmäßiges Sehnensechseck im orangefarbenen Kreis handelt, und dass die Ecken des grünen Dreiecks genau auf drei Ecken jenes Seckecks liegen. Damit ist das grüne Dreieck gleichseitig! Bei den gestrichelten Seckseckdiagonalen handelt es sich demnach um Durchmesser des mit dem gelben Sechseck gemeinsamen orangefarbenen Umkreises, von denen jede das gleichseitige grüne Dreieck genau halbiert!
Dann ist die Aufgabe lösbar, indem man lediglich den "Satz des Pythagoras" anwendet,
sowie die Erkenntnis, dass in einem halbierten gleichseitigen Dreieck
die kürzeste Seite genau halb so lang ist wie die längste...

Die folgende Lösung ist mit voller Absicht etwas "überausführlich" formuliert, damit sich auch der geometrische Laie erfolgreich durch die Einzelschritte tasten mag. Fortgeschrittenere Geister werden die substanzielle würzige Kürze sicher erkennen! 😎



Das grüne Dreieck ABC ist gleichseitig.
Damit gilt:   \(\alpha=\angle CAB=\angle ABC=\angle BCA=\frac{180°}{3}=60°\)
Die gestrichelten Kreisdurchmesser halbieren jeweils das Dreieck \(\triangle ABC\).
Damit gilt:   \(\vert AM\vert=\vert MB\vert=\frac{\vert AB\vert}{2}=\frac{\vert CA\vert}{2}=\vert CL\vert=\vert LA\vert\)
Nach Strahlensatz gilt dann auch:   \(\vert LM\vert=\frac{\vert BC\vert}{2}=\frac{\vert AB\vert}{2}=\frac{\vert CA\vert}{2}=\vert LA\vert\)

Nun zeichne man zusätzlich die noch "fehlende" dritte Sechseckdiagonale ein.
Sie schneidet die beiden anderen im gemeinsamen Schnittpunkt \(Z\),
dem Mittelpunkt des orangefarbenen Kreises.
Als Kreisdurchmesser halbiert auch sie das grüne gleichseitige Dreieck.
Sie schneidet die Strecke   \(\vert LM\vert\)   im Punkt \(S\) und halbiert selbige damit.

Sei   \(r=\vert ZB\vert=\vert ZC\vert=\vert ZA\vert\)
\(SZ\) halbiert das grüne gleichseitige Dreieck und damit auch seinen Winkel bei \(A\).
Damit gilt:   \(\angle LAZ=\angle CAZ=\frac{\angle CAB}{2}=\frac{\alpha}{2}=30°\)
\(BZ\) halbiert das grüne gleichseitige Dreieck und schneidet   \(\vert CA\vert\)   rechtwinklig.
Damit gilt:   \(\angle ZLA=\angle BLA=90°\)
Mithin gilt:   \(\angle AZL=180°-\angle LAZ-\angle ZLA= 60°\)
\(\triangle AZL\)   ist also ein halbiertes gleichseitiges Dreieck!
Damit gilt:   \(\vert LZ\vert=\frac{\vert ZA\vert}{2}=\frac{r}{2}\)
\(\triangle LSZ\)   muss den verbleibenden Winkeln nach ähnlich sein zu   \(\triangle AZL\).
Damit gilt:   \(\vert SZ\vert=\frac{\vert LZ\vert}{2}=\frac{r}{4}\)
Pythagoras:   \(\vert LS\vert^2=\vert LZ\vert^2-\vert SZ\vert^2=\frac{r^2}{4}-\frac{r^2}{16}=\frac{3\cdot r^2}{16}\)   \(\Rightarrow\)   \(\vert LS\vert=\frac{r\cdot\sqrt{3}}{4}\)
Mithin gelten:   \(\vert SM\vert=\vert LS\vert=\frac{r\cdot\sqrt{3}}{4}\)   und   \(\vert LM\vert=\vert LS\vert+\vert SM\vert=2\cdot\vert LS\vert=\frac{r\cdot\sqrt{3}}{2}\)

\(K\) liegt auf dem orangefarbenen Kreis, also ist   \(\vert KZ\vert=r\)
\(\triangle KSZ\)   ist rechtwinklig in \(S\)
Pythagoras:   \(\vert KS\vert^2=\vert KZ\vert^2-\vert SZ\vert^2=r^2-\frac{r^2}{16}=\frac{15\cdot r^2}{16}\)   \(\Rightarrow\)   \(\vert KS\vert=\frac{r\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{4}\)

Somit gilt:   \(\frac{\vert KM\vert}{\vert LM\vert}=\frac{\vert KS\vert+\vert SM\vert}{\vert LS\vert+\vert SM\vert}=\frac{\vert KS\vert+\vert LS\vert}{2\cdot\vert LS\vert}=\frac{\frac{r\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{4}+\frac{r\cdot\sqrt{3}}{4}}{\frac{2\cdot r\cdot\sqrt{3}}{4}}=\frac{r\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}+r\cdot\sqrt{3}}{2\cdot r\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi\)
\(\Phi\)   ist die "Goldene Zahl" mit   \(\Phi\approx1,61803398875\)

Verkürzt besteht das ganze aus zweifacher Halbierung des Kreisradius \(r\),
zweimal "Pythagoras" und einer abschließenden Bruchrechnung.
Squire hatte es zeitnah genau so gelöst.

Erfolgreiche Löser mit anderen Ansätzen sind herzlich eingeladen,
diese hier zu veröffentlichen!

Außerdem wartet man am Institut für intuitive Idiometrie
immer noch auf den ersten geometrischen Könner 😉

p.s.
haribo hat mich in der Zwischenzeit auf schicke andere Figuren zum "Goldenen Schnitt" hingewiesen. Vielleicht mag er zu einer entsprechend erbaulichen Sammlung ja noch einen eigenen Thread eröffnen?!


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Hans-Juergen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.03.2003
Mitteilungen: 1415
Aus: Henstedt-Ulzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-18


Hallo Uli,

ich folge Deiner Einladung:

Grundsätzlich anders ist natürlich auch mein Ansatz nicht.

Gruß
Hans-Jürgen




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Hans-Juergen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.03.2003
Mitteilungen: 1415
Aus: Henstedt-Ulzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-11 21:59


Noch zu #7:

Hallo Uli,

vielleicht kannte Deine Lehrerin die auf dieser Seite: angemerkte Entdeckung des amerikanischen Künstlers George Odom, ebenfalls aus dem Jahre 1982.






Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 454
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-13 05:08


Guten Morgen Hans-Juergen,

auch haribo hatte mich bereits in einer persönlichen Nachricht auf Odoms Figur hingewiesen. Danke.

Mit Weihnachten 1982 bin ich mir absolut sicher. Da Odoms Figur erst 1983 im "American Mathematical Monthly" veröffentlicht wurde, kann meine einstige Mathelehrerin sie dort nicht hergehabt haben. Ob sie 1981/1982 über andere "Hintergrundkanäle" dazu verfügte, kann ich nicht beurteilen. Ich halte es jedoch  für durchaus denkbar, dass sie während ihres Mathematik-Studiums im "Ostblock" (Rumänien) zu Zeiten des "Kalten Krieges" auf eine solche Figur aufmerksam geworden war, welche womöglich unabhängig zu Odom auch hinter dem "Eisernen Vorhang" ersonnen wurde. Wird nicht zu klären sein.

Wenn Du magst, erstelle doch gerne einen eigenen Thread mit dem Thema "Figuren zum Goldenen Schnitt". haribo und ich hätten schon einige interessante in petto ;)


-----------------

ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Hans-Juergen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.03.2003
Mitteilungen: 1415
Aus: Henstedt-Ulzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-13 10:33


Hallo Uli,

über den amerikanischen Künstler und Amateur-Geometer, seine Untersuchungen zum Goldenen Schnitt und sein unglücklich verlaufenes Leben steht einiges hier:  

Mit freundlichem Gruß
Hans-Jürgen

Nachtrag: eine weitere Goldene-Schnitt-Konstruktion am gleichseitigen Dreieck findet man hier:




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cramilu wird per Mail über neue Antworten informiert.
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Deine Lösung nicht direkt im Forum posten darfst.
Sende stattdessen Deine Lösung als private Nachricht an den Themensteller. Benutze dazu den Link 'Privat', den Du unter seinem Beitrag findest.
Der Themensteller wird zu gegebener Zeit über eingesandte (richtige) Lösungen informieren
und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]