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  Extremwerte im Mehrdimensionalen |
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EuskiPeuski712
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 91
 |  Themenstart: 2020-08-09
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Hallo Leute,
ich bereite mich aktuell auf eine Prüfung vor und versuche dabei zu verstehen, wie man Extremwerte bei Funktionen im Mehrdimensionalen bestimmt.
Das Verfahren ist erstmal klar. Im Eindimensionalen leuchtet das Prinzip ein, da ich ja hier mithilfe von Monotonie argumentieren kann. Jedoch fehlt mir dieses Argument ja im Mehrdimensionalen. Daher meine Fragen:
(1) Zur Bestimmung eines kritischen Punktes findet man alle Punkte, sodass der Gradient von f 0 ist. Kann ich mir das damit erklären, dass ich einen Punkt suche, an dem der stärkste Anstieg gleich 0 (also in dem Sinne kein Anstieg) vorhanden ist ?
(2) Wenn ich einen kritischen Punkt gefunden habe, überprüfe ich diesen mithilfe der zweiten Ableitung, also der Hesse-Matrix. Wenn diese Matrix in jenem Punkt positiv definit ist, weiß ich, dass der Punkt ein lokales Minimum ist. Wieso ? Was sagt die Definitheit einer Matrix über einen Punkt und dessen Stellung als Extrempunkt aus ?
Ich hoffe, ich konnte mein Problem einigermaßen klarstellen ?
Ich habe mich schon überall versucht zu informieren, leider habe ich keine passenden Antworten gefunden.
Ich würde mich über Anregungen freuen :)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-09
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Hallo,
mal zwei Punkte, ohne Anspruch auf Vollständigkeit.
\quoteon(2020-08-09 13:30 - EuskiPeuski712 im Themenstart)
(1) Zur Bestimmung eines kritischen Punktes findet man alle Punkte, sodass der Gradient von f 0 ist. Kann ich mir das damit erklären, dass ich einen Punkt suche, an dem der stärkste Anstieg gleich 0 (also in dem Sinne kein Anstieg) vorhanden ist ?
\quoteoff
Genau darum geht es.
\quoteon(2020-08-09 13:30 - EuskiPeuski712 im Themenstart)
(2) Wenn ich einen kritischen Punkt gefunden habe, überprüfe ich diesen mithilfe der zweiten Ableitung, also der Hesse-Matrix. Wenn diese Matrix in jenem Punkt positiv definit ist, weiß ich, dass der Punkt ein lokales Minimum ist. Wieso ? Was sagt die Definitheit einer Matrix über einen Punkt und dessen Stellung als Extrempunkt aus ?
\quoteoff
Die Definitheit der Hessematrix sagt etwas über die Krümmungseigenschaft der Funktion aus. Bei positiver Definitheit ist die Funktion konvex, bei negativer konkav. Also kann man in diesen beiden Fällen analog wie im eindimensionalen auf die Art eines Extremums schließen.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
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EuskiPeuski712
Wenig Aktiv
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 91
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-09
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Ah okay, vielen lieben Dank. Dass die Definitheit einer Matrix bestimmt, ob eine Funktion konvex oder konkav ist, wusste ich leider nicht, wobei es ja zum Verständnis meiner Meinung nach wichtig ist. Daher vielen lieben Dank :)
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EuskiPeuski712 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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