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Analysis » Integration » Existenz Parameterintegral
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Universität/Hochschule J Existenz Parameterintegral
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-11


Hallo zusammen,

kann mir jemand sagen, ob das so korrekt ist:

Sei $\int\limits_1^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\ln(t) ~dt$ ein Parameterintegral mit $x\in(1,\infty)$, dessen Existenz wir überprüfen möchten. Wir finden dann eine obere Schranke mithilfe der Reihendarstellung der $e$-Funktion und der Tatsache, dass $\ln(t)\leq t$ für $t\geq 1$, also:

$|t^{x-1}e^{-t}\ln(t)|\leq t^{x-1}e^{-t}t = t^xe^{-t}\leq t^x \frac{\lceil 2x\rceil !}{t^{\lceil 2x\rceil}}\leq \frac{\lceil 2x\rceil !}{t^x}$.

Wir erhalten dann:

$\int\limits_1^{\infty}|t^{x-1}e^{-t}\ln(t) ~dt|\leq \lceil 2x\rceil ! \int\limits_1^{\infty} \frac{1}{t^x}dt= \lceil 2x\rceil ! \left(\frac{1}{1-x}t^{1-x}\right)\bigg \vert_1^{\infty}= -\frac{\lceil 2x\rceil !}{1-x}$.

Das Parameterintegral existiert also.

Ist das so richtig?

viele Grüße
WagW



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-11


Hey WagW,

stimmt alles, wenn du hinter dem letzten = noch ein - spendierst.



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Danke :)



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WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WagW hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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