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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Werte einer linearen Abbildung ohne Abbildungsmatrix berechnen
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Universität/Hochschule J Werte einer linearen Abbildung ohne Abbildungsmatrix berechnen
Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Hallo, bei dieser Aufgabe soll ich die gegebenen Vektoren in die Abbildungen einsetzen. Ich frage mich aber, wie das gehen soll, wenn die Matrix nicht gegeben ist? Soll ich also erstmal "Zusatz" machen und die Matrix bestimmen? Sollte es dann nicht als erster Stelle sein??

Lg Sebastian




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Kajam,

du kannst hier in beiden Fällen die Linearität der Abbildungen ausnutzen. Es ist

\[-\bpm 1\\0\epm+2\bpm 0\\1\epm=\bpm -1\\2\epm\]
sowie

\[\bpm 1\\-1\epm+2\bpm 1\\1\epm=\bpm 3\\1\epm\]
Eine Abbildungsmatrix benötigst du an dieser Stelle nicht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-12


Hallo Kajam,

es ist zwar nicht verboten, zuerst den Zusatz zu bearbeiten und mit dem so erlangten Wissen die restliche Aufgabe anzugehen....

aber notwendig ist dieses Vorgehen nicht.
Ich gehe davon aus, dass die linearen Abbildungen bezüglich der Standardbasen darzustellen sind. Dann kannst du problemlos zwischen der Matrixschreibwwise und der Abbildungsschreibweise hin und her schalten.

Anders gesagt: du weißt, wie sich die Abbildungen unter einer speziellen Basis verhalten; rechne das auf die Standardbasis um.

mfg
thureduehrsen

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Und dann? Ist das gelbe meine Matrix? Muss ich die Vektoren, die eingesetzt werden, mit der Matrix multiplizieren? Ist die gelbe Matrix von A oder B oder von beiden gleichzeitig?




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nein, das ist jetzt völlig falsch. Linearität bedeutet hier, dass für die Abbildungen bspw.

\[f(ax+by)=af(x)+bf(y)\]
gilt. Und das kannst du ausnutzen, um die fraglichen Vektoren zu berechnen. Ich habe dir davon eigentlich 90% vorgerechnet...

Falls das die Matrix B sein soll, da bist du auch völlig falsch vorgegangen. Der Hinweis von thureduersen auf die Standardbasis war hier schon auch wichtig. Im Fall der Matrix A muss man hier nämlich überhaupt nichts rechnen (welcher Zusammenhang besteht zwischen den Bildern der Basisvektoren und den Spalten einer Abbildungsmatrix?).

Zur Bestimmung der Matrix B musst du \(B=\bpm a&b\\c&d \epm\) ansetzen und dann in die Abbildungsvorschrift \(Bx=y\) die entsprechenden Vektoren einsetzen. Das führt auf ein (denkbar einfaches) 4x4-LGS zur Bestimmung der Einträge der Matrix.


Gruß, Diophant




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\(\endgroup\)


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-12


Hallo
 du solltest daran denken dass in der Abbildungdmatrix die Spalte die Bilder der Basis sind. in a) musst du also nur hinschreiben, in b)die Bilder der Standardbasis bilden.
lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Ok. Der Zusammenhang ist mir klar. Standardbasen sind die Spalten der Abbildungsmatrix. Aber ich verstehe immer noch nicht, wo ich die Basen einsetzen muss und was ist das "y" bei Bx=y ???



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

es wäre bspw.

\[B\cdot\bpm 1\\-1\epm=\bpm 1\\ 2\epm\]
Und für den anderen gegebenen Wert entsprechend.

Es würde aber (wie lula schon sagte) auch hier so funktionieren, dass du die Standardbasis als Linearkombinationen der gegebenen Urbildvektoren darstellst und so die Spalten direkt über die Linearität berechnest. Ist Geschmacksache, das LGS geht in diesem Fall schneller (meiner Meinung nach).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Ist das jetzt richtig so?

Wenn ja, wie komme ich dann an die Matritzen A und B?






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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-12


Hallo,

vorneweg: es ist unheimlich mühsam, deine Aufschriebe zu entziffern, von daher kann man leicht etwas übersehen.

Deine Resultate stimmen jetzt jedenfalls beide.

Ich gehe dann mal davon aus, dass auch die Rechnungen fehlerfrei sind.

Zu den Matrizen A und B wurde doch schon alles erschöpfend gesagt. Was ist denn da nun noch unklar?


Gruß, Diophant



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-12 15:36 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo,

nein, das ist jetzt völlig falsch. Linearität bedeutet hier, dass für die Abbildungen bspw.

\[f(ax+by)=af(x)+bf(y)\]
gilt. Und das kannst du ausnutzen, um die fraglichen Vektoren zu berechnen. Ich habe dir davon eigentlich 90% vorgerechnet...

Falls das die Matrix B sein soll, da bist du auch völlig falsch vorgegangen. Der Hinweis von thureduersen auf die Standardbasis war hier schon auch wichtig. Im Fall der Matrix A muss man hier nämlich überhaupt nichts rechnen (welcher Zusammenhang besteht zwischen den Bildern der Basisvektoren und den Spalten einer Abbildungsmatrix?).

Zur Bestimmung der Matrix B musst du \(B=\bpm a&b\\c&d \epm\) ansetzen und dann in die Abbildungsvorschrift \(Bx=y\) die entsprechenden Vektoren einsetzen. Das führt auf ein (denkbar einfaches) 4x4-LGS zur Bestimmung der Einträge der Matrix.


Gruß, Diophant




[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]


Wie kommst du auf ein 4x4 LGS? Ich komme gearde suf ein 2x2 LGS. Was mir unklar ist jetzt, wie ich das lösen soll? Das sind 4 Unbekannte mit 2 Gleichungen ...?

\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-12


Hallo,

die Matrix A ist falsch. Da müsstest du bitte die gegebenen Hinweise nochmal gründlich lesen. Wenn sie nämlich stimmen würde, dann würde die Einheitsmatrix jeden (linearen) Endomorphismus entsprechender Dimension beschreiben...

Zur Matrix B: ein 2x2-LGS ist das sicherlich nicht, was du da aufgestellt hast. Sondern ein 2x4-LGS (also: zwei Zeilen, vier Variablen).

Wenn du jetzt das andere bekannte Paar aus Urbild und Bild ebenfalls noch heranziehst, bekommst du zwei weitere Gleichungen.


Gruß, Diophant



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Hallo,

wieso ist die Matrix A falsch? Welche soll das denn sonst sein? Was soll sie beschreiben???

Gruß,

Sebastian



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-12 18:00 - Kajam in Beitrag No. 12 schreibt:
wieso ist die Matrix A falsch?

Weil es die Einheitsmatrix ist. Diese bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Das tut die Abbildung \(f_A\) jedoch ganz offensichtlich nicht.

2020-08-12 18:00 - Kajam in Beitrag No. 12 schreibt:
Welche soll das denn sonst sein? Was soll sie beschreiben???

2020-08-12 15:36 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
welcher Zusammenhang besteht zwischen den Bildern der Basisvektoren und den Spalten einer Abbildungsmatrix?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kajam
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2020-08-12 16:18 - Kajam in Beitrag No. 6 schreibt:
Ok. Der Zusammenhang ist mir klar. Standardbasen sind die Spalten der Abbildungsmatrix. Aber ich verstehe immer noch nicht, wo ich die Basen einsetzen muss und was ist das "y" bei Bx=y ???

?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-08-12


Hallo,

nicht die Basisvektoren sind die Spalten. Die Bilder der Basisvektoren unter der betreffenden Abbildung.

Wenn man mit solchen Aufgaben hantiert, dann sollten doch solche Begriffe wie Urbild und Bild bekannt sein?

Also da bitte ich jedenfalls um Verständnis, dass wir hier in einem solchen Zusammenhang derartige Basics als bekannt voraussetzen. Schlage sie nach, dann sollte klar sein, wie du zur Matrix A kommst.


Gruß, Diophant



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-08-12


2020-08-12 15:28 - Kajam in Beitrag No. 3 schreibt:
Ist das gelbe meine Matrix? Muss ich die Vektoren, die eingesetzt werden, mit der Matrix multiplizieren? Ist die gelbe Matrix von A oder B oder von beiden gleichzeitig?

2020-07-10 11:52 - thureduehrsen in Beitrag No. 5 schreibt:
Mathematik studiert man nicht punktweise, indem man irgendwo einsticht und versucht, mit Begriffen zu jonglieren. Mathematik studiert man gleichmäßig und ausdauernd und gewissenhaft.
SCNR


mfg
thureduehrsen



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Ich habe die Begriffe wieder nachgeschlagen. Also ist die Abbildungsmatrix A=
(3 1)
(0 1)



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-08-12


Hallo Kajam,

ich verzichte darauf, deine Matrix zu überprüfen, da du keine Zwischenschritte angibst.

mfg
thureduehrsen



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

jetzt notieren wir das noch sauber:

\[A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Und ja: jetzt passt es. 👍

Klicke mal auf 'Quote', um die Latex-Syntax für die obige Matrix anzusehen. Soo kompliziert ist das nicht.

Jetzt musst du für die Matrix B entweder das begonnene LGS vervollständigen wie in Beitrag #11 beschrieben.

Oder du machst dich nochmal an das Thema Linearkombinationen und drückst die Vektoren der Standardbasis mittels der beiden gegebenen Vektoren \(\bpm 1\\-1\epm\) und \(\bpm 1\\1\epm\) aus. Dann kannst du wieder die Linearität ausnutzen, um die Bilder der Basisvektoren mit den beiden bekannten Bildvektoren zu berechnen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Kajam
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2020-08-12 19:02 - thureduehrsen in Beitrag No. 18 schreibt:
Hallo Kajam,

ich verzichte darauf, deine Matrix zu überprüfen, da du keine Zwischenschritte angibst.

mfg
thureduehrsen
Meine Rechnung steht in Beitrag 8. Ich habe die Vektoren (3 1) und (1 1) am Ende zusammen getan.



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Kajam
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Das habe ich gemacht. Habe ich jetzt alles? Am Ende habe ich die Vektoren ausgerechnet. Was ich nicht verstehe, ich brache doch die Matritzen, um diese zu berechnen. Bei A ist irrelevant, weil es der gleiche ist.cBei B aber nicht ...?




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Kajam
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-12 19:03 - Diophant in Beitrag No. 19 schreibt:
Hallo,

jetzt notieren wir das noch sauber:

\[A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Und ja: jetzt passt es. 👍

Klicke mal auf 'Quote', um die Latex-Syntax für die obige Matrix anzusehen. Soo kompliziert ist das nicht.

Jetzt musst du für die Matrix B entweder das begonnene LGS vervollständigen wie in Beitrag #11 beschrieben.

Oder du machst dich nochmal an das Thema Linearkombinationen und drückst die Vektoren der Standardbasis mittels der beiden gegebenen Vektoren \(\bpm 1\\-1\epm\) und \(\bpm 1\\1\epm\) aus. Dann kannst du wieder die Linearität ausnutzen, um die Bilder der Basisvektoren mit den beiden bekannten Bildvektoren zu berechnen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]

🙂
\(\endgroup\)


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Matrix A ist richtig, wie bestätigt.

Die Matrix B ist hingegen falsch. Du hast hier die Bildvektoren der gegebenen Vektoren verwendet, das ist natürlich Unsinn. Du müsstest zuerst die Bilder der Standardbasis \(\bpm 1\\0\epm\), \(\bpm 0\\1 \epm\) berechnen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-12 19:48 - Diophant in Beitrag No. 23 schreibt:
Hallo,

die Matrix A ist richtig, wie bestätigt.

Die Matrix B ist hingegen falsch. Du hast hier die Bildvektoren der gegebenen Vektoren verwendet, das ist natürlich Unsinn. Du müsstest zuerst die Bilder der Standardbasis \(\bpm 1\\0\epm\), \(\bpm 0\\1 \epm\) berechnen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]

Wieso muss ich Bilder der Standardbasis ausrechnen? Die Bilder der Standardbasis sind doch nur bei A gegeben. Bei B habe ich eine andere Basis. Die Bilder bei B sind bezüglich dieser Basis gegeben. Wie kann ich denn die Bilder bezüglich der Standardbasis bestimmen? Das ist mir ein Rätsel. Ich musste doch überhaupt nicht die Bilder bestimmen. Die sind gegeben in der Aufgabe, also was meinen Sie?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Hallo,

2020-08-12 20:03 - Kajam in Beitrag No. 24 schreibt:
Wieso muss ich Bilder der Standardbasis ausrechnen? Die Bilder der Standardbasis sind doch nur beinA gegeben. Bei B habe ich eine andere Basis.

Wie kommst du darauf?

Also entweder ist dir der Begriff Basis nicht klar, oder du hast Teile der Aufgabenstellung unterschlagen.

Wenn - so wie es jetzt dasteht - keine weiteren Angaben zur Basis gemacht wurden, dann ist die kanonische Basis, die man eben meist auch als Standardbasis bezeichnet und die aus den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen besteht gemeint.

Ist eine andere Basis gemeint, dann muss das explizit in der Aufgabe stehen. In deiner Aufgabenstellung kommt ja aber das Wort Basis noch nicht einmal vor...


Gruß, Diophant



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Kajam
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2020-08-12 20:08 - Diophant in Beitrag No. 25 schreibt:
Hallo,

2020-08-12 20:03 - Kajam in Beitrag No. 24 schreibt:
Wieso muss ich Bilder der Standardbasis ausrechnen? Die Bilder der Standardbasis sind doch nur beinA gegeben. Bei B habe ich eine andere Basis.

Wie kommst du darauf?

Also entweder ist dir der Begriff Basis nicht klar, oder du hast Teile der Aufgabenstellung unterschlagen.

Wenn - so wie es jetzt dasteht - keine weiteren Angaben zur Basis gemacht wurden, dann ist die kanonische Basis, die man eben meist auch als Standardbasis bezeichnet und die aus den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen besteht gemeint.

Ist eine andere Basis gemeint, dann muss das explizit in der Aufgabe stehen. In deiner Aufgabenstellung kommt ja aber das Wort Basis noch nicht einmal vor...


Gruß, Diophant

Ich komme darauf, weil bei B Basen gegeben sind. Genau eben: Die erste Basis lautet (1 -1)^T. Ist es vielleicht die Standardbasis? Sieht nicht so aus. Zum Vergleich: Die Standardbasis sieht aus wie (1 0)^T. Diese aber eindeutig nicht Standdardbasis wird von der Matrix B auf (1 2)^T abgebildet. Diese Aufgabe oder Ihre Begriffserklärung macht für mich einfach keinen Sinn



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thureduehrsen
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
2020-08-12 20:19 - Kajam in Beitrag No. 26 schreibt:
Genau eben: Die erste Basis lautet (1 -1)^T. Ist es vielleicht die Standardbasis? Sieht nicht so aus.

Jede Basis des \(\mathbb {R}^2\) besteht aus genau zwei Vektoren. Du hast aber nur einen angegeben.

Wiederhole die Begriffe.

mfg
thureduehrsen
\(\endgroup\)


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Kajam
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2020-08-12 20:28 - thureduehrsen in Beitrag No. 27 schreibt:
2020-08-12 20:19 - Kajam in Beitrag No. 26 schreibt:
Genau eben: Die erste Basis lautet (1 -1)^T. Ist es vielleicht die Standardbasis? Sieht nicht so aus.

Jede Basis des \(\mathbb {R}^2\) besteht aus genau zwei Vektoren. Du hast aber nur einen angegeben.

Wiederhole die Begriffe.

mfg
thureduehrsen

Der andere kommt doch danach und ist (1 1)^T



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Diophant
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-12 20:19 - Kajam in Beitrag No. 26 schreibt:
Ich komme darauf, weil bei B Basen gegeben sind. Genau eben: Die erste Basis lautet (1 -1)^T. Ist es vielleicht die Standardbasis? Sieht nicht so aus. Zum Vergleich: Die Standardbasis sieht aus wie (1 0)^T. Diese aber eindeutig nicht Standdardbasis wird von der Matrix B auf (1 2)^T abgebildet.

Nein. Sortieren wir nochmal.

Eine solche lineare Abbildung wie sie hier zweimal vorliegt, ordnet jedem (Urbild-)Vektor aus dem \(\IR^2\) einen Bildvektor im \(\IR^2\) zu. Es ist also jeweils eine Abbildung der Ebene in sich selbst (man nennt so etwas auch einen Endomorphismus). Die Einträge dieser Spaltenvektoren sind stets als Verschiebungen in Richtung der Basisvektoren zu verstehen, wie aus der Schule bekannt (du kannst hier die Vektoren zum besseren Verständnis auch einfach als Punkte der Ebene auffassen). Im Fall der Standardbasis eben als Verschiebungen in Richtung der Koordinatenachsen.

Eine andere Basis würde bedeuten, dass sich das Koordinatensystem ändert und damit natürlich die Koordinaten jedes einzelnen Punktes der Ebene. Davon sind wir hier ja meilenweit entfernt, weil dir das offensichtlich überhaupt nichts sagt (was jetzt auch gar kein Vorwurf sein soll).

Die Basis besteht also hier stets aus den beiden Vektoren \((1,0)^T\) und \((0,1)^T\). Und wenn du die Matrix B noch berechnen möchtest, dann musst du jetzt endlich

- die Basisvektoren als Linearkombinationen der beiden Urbildvektoren \((1,-1)^T\) und \((1,1)^T\) ausdrücken und damit ihre Bilder berechnen
- oder den bereits begonnenen Weg über das LGS aus Beitrag #10 wie beschrieben weiterverfolgen.

2020-08-12 20:19 - Kajam in Beitrag No. 26 schreibt:
Diese Aufgabe oder Ihre Begriffserklärung macht für mich einfach nicht keinen Sinn

Du könntest uns in solchen Fällen sehr helfen, wenn du den Aufgabenkontext möglichst gut beschreibst. Also in welchem Zusammenhang wurde die Aufgabe gestellt, wie heißt die Veranstaltung und was ist dein Kenntnisstand? Welche Unterlagen stehen dir zur Verfügung? Usw. usf...

Generell passiert so etwas immer dann, wenn man Aufgaben bearbeitet, ohne den zugrundeliegenden Stoff ausreichend studiert zu haben. Warum auch immer.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-12 20:34 - Diophant in Beitrag No. 29 schreibt:
Hallo,

2020-08-12 20:19 - Kajam in Beitrag No. 26 schreibt:
Ich komme darauf, weil bei B Basen gegeben sind. Genau eben: Die erste Basis lautet (1 -1)^T. Ist es vielleicht die Standardbasis? Sieht nicht so aus. Zum Vergleich: Die Standardbasis sieht aus wie (1 0)^T. Diese aber eindeutig nicht Standdardbasis wird von der Matrix B auf (1 2)^T abgebildet.

Nein. Sortieren wir nochmal.

Eine solche lineare Abbildung wie sie hier zweimal vorliegt, ordnet jedem (Urbild-)Vektor aus dem \(\IR^2\) einen Bildvektor im \(\IR^2\) zu. Es ist also jeweils eine Abbildung der Ebene in sich selbst (man nennt so etwas auch einen Endomorphismus). Die Einträge dieser Spaltenvektoren sind stets als Verschiebungen in Richtung der Basisvektoren zu verstehen, wie aus der Schule bekannt (du kannst hier die Vektoren zum besseren Verständnis auch einfach als Punkte der Ebene auffassen). Im Fall der Standardbasis eben als Verschiebungen in Richtung der Koordinatenachsen.

Eine andere Basis würde bedeuten, dass sich das Koordinatensystem ändert und damit natürlich die Koordinaten jedes einzelnen Punktes der Ebene. Davon sind wir hier ja meilenweit entfernt, weil dir das offensichtlich überhaupt nichts sagt (was jetzt auch gar kein Vorwurf sein soll).

Die Basis besteht also hier stets aus den beiden Vektoren \((1,0)^T\) und \((0,1)^T\). Und wenn du die Matrix B noch berechnen möchtest, dann musst du jetzt endlich

- die Basisvektoren als Linearkombinationen der beiden Urbildvektoren \((1,-1)^T\) und \((1,1)^T\) ausdrücken und damit ihre Bilder berechnen

Und damit ihre Bilder berechnen? Wie soll das gehen? Die Bilder sind doch gegeben, oder nicht?

- oder den bereits begonnenen Weg über das LGS aus Beitrag #10 wie beschrieben weiterverfolgen.

2020-08-12 20:19 - Kajam in Beitrag No. 26 schreibt:
Diese Aufgabe oder Ihre Begriffserklärung macht für mich einfach nicht keinen Sinn

Du könntest uns in solchen Fällen sehr helfen, wenn du den Aufgabenkontext möglichst gut beschreibst. Also in welchem Zusammenhang wurde die Aufgabe gestellt, wie heißt die Veranstaltung und was ist dein Kenntnisstand? Welche Unterlagen stehen dir zur Verfügung? Usw. usf...

Zusammenhang sowie Veranstaltung: Lineare Algebra 1
Kennnisstsnd: LA 1🤔
Generell passiert so etwas immer dann, wenn man Aufgaben bearbeitet, ohne den zugrundeliegenden Stoff ausreichend studiert zu haben. Warum auch immer.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]
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Diophant
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Bilder der Vektoren \((1,-1)^T\) und \((1,1)^T\) sind gegeben, die Bilder der Basisvektoren \((1,0)^T\) und \((0,1)^T\) sind das, was du benötigst.


Gruß, Diophant
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Kajam
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Ich verstehe das nicht. Wie soll ich die Bilder dieser Vektoren berechnen, wenn die Abbildung nicht gegeben ist? Wo soll ich die einsetzen?



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So, die Linearkombinationen der Basisvektoren habe ich schon mal. Weiter weiß ich nicht.




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Diophant
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Abbildung ist durch die Matrix B gegeben. Es ist

\[\frac{1}{2}\bpm 1\\-1\epm+\frac{1}{2}\bpm 1\\1\epm=\bpm 1\\0\epm\]
Auf ähnliche Art und Weise lässt sich der andere Basisvektor mittels der beiden gegebenen Vektoren darstellen. Und unter Ausnutzung der Linearität kann man damit wie gehabt die Bilder der Basisvektoren aus den gegebenen Bildvektoren berechnen.

2020-08-13 11:01 - Kajam in Beitrag No. 33 schreibt:
So, die Linearkombinationen der Basisvektoren habe ich schon mal. Weiter weiß ich nicht.

Das ist bemerkenswert vor dem Hintergund, als das man nichts anderes tun muss, als das was schon die gesamte Aufgabe über zu tun war. Wie hast du gleich nochmal \(f_B\left((3,1)^T\right)\) berechnet?


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.32 begonnen.]
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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Ok, ich glaube ich habe es. Jetzt aber:







[Die Antwort wurde nach Beitrag No.33 begonnen.]



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Diophant
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Hallo,

2020-08-13 11:40 - Kajam in Beitrag No. 35 schreibt:
Ok, ich glaube ich habe es. Jetzt aber:

Ja, jetzt passt es. 👍


Gruß, Diophant



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Hallo,

Danke für die Hilfe.

Gruß, Sebastian



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