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Mathematik » Stochastik und Statistik » Münzwurfspiel und seine Verteilung
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Universität/Hochschule Münzwurfspiel und seine Verteilung
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Guten Nachmittag zusammen

Ich versuche gerade mich auf meine Prüfungen vorzubereiten und stecke an folgender Aufgabe fest. Ich soll die Verteilung bestimmen für folgendes Spiel: Wir werfen eine Münze $X$ mal bis ich 5 mal Kopf erhalte. Nun frage ich mich welche Verteilung $X$ hat. Geometrisch dachte ich zuerst aber die ist ja nur bis zum "ersten" Mal Kopf und Binomial ergibt auch nicht wirklich Sinn. Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank für eure Hilfe und freundliche Grüsse
Math_user



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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12


Hallo

Das ist keine Binomialverteilung, die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Du musst die Verteilung selbst aufstelle, indem du einzelne Wahrscheinlichkeiten berechnest und dann eine Beziehung herleitst.

Gruß caban



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-12


Moin, google mal Pascal- oder negative Binomialverteilung. Das ist eine Verallgemeinerung der geometrischen Verteilung.

vg Luis



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Math_user,

gehe es einmal so an: der letzte Wurf muss "Kopf" zeigen. In den \(k-1\) Würfen davor ist dann genau viermal "Kopf" gefallen. Dafür musst du die Anzahl der möglichen Reihenfolgen zählen.

Und das ganze dann nach dem Prinzip günstige Fälle / mögliche Fälle verrechnen...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-12


Mein Bauchgefühl sagt mir, dass es auf eine Art "verzerrte" Poisson-Verteilung hinauslaufen könnte...

Die folgenden Werte habe ich mit einer verknappten Modellierung ermittelt:

p(X=0) = p(X=1) = p(X=2) = p(X=3) = p(X=4) = 0

p(X=5) = 1/32 = 0,03125
p(X=6) = 5/64 = 0,078125
p(X=7) = 15/128 = 0,1171875
p(X=8) = 35/256 = 0,13671875
...

Die Kurve dazu sollte sich bis zum Erreichen des Höchstwertes wie eine Parabel dritten Grades vor Erreichen ihres Wendepunktes verhalten und danach zunächst wieder parabolisch abfallen, bevor sie dann an ihrem eigenen, tatsächlichen Wendepunkt in eine Hyperbel übergeht, welche sich für sehr große X an die x-Achse "anschmiegt".
[gaaanz grob also in der Art einer "Planck'schen Strahlungskurve"]

Leider ist bei mir jedoch die Uni-Stochastik zu lange her, um hierzu auf die Schnelle etwas wirklich zweifelsfrei korrektes sagen zu können.

p.s. Den Beitrag von [luis52] hatte ich zunächst überlesen - scheint mir der zielführende Hinweis zu sein!


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Vielen Dank für all eure Inputs. Zuerst, was meinst du Caban mit:
2020-08-12 16:46 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.

Ich glaube ich verstehe dich hier nicht ganz. Okay eine Google-Recherche zusammen mit überlegen ergab folgendes: Wir verfolgen den Hinweis von Diophant weiter, d.h. in $k-1$ Würfen ist genau viermal "Kopf" gefallen. Dies entspricht ja eine Binomialverteilung:

$\Bbb{P}(X = 4) = {{k-1} \choose {4}} p^{4}(1-p)^{(k-1)-4}$
 
Nun muss ja beim nächsten Wurf "Kopf" fallen, dass heisst wir können diese Wahrscheinlichkeit mal $p$ rechnen und wir erhalten dann unsere Verteilung:

$\Bbb{P}(X = 5) = {{k-1} \choose {4}} p^{5}(1-p)^{(k-1)-4}$

Stimmt dies?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich glaube, du bist auf der richtigen Spur. Aber wir müssen noch ein bisschen sortieren:

2020-08-12 18:41 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Wir verfolgen den Hinweis von Diophant weiter, d.h. in $k-1$ Würfen ist genau viermal "Kopf" gefallen. Dies entspricht ja eine Binomialverteilung:

$\Bbb{P}(X = 4) = {{k-1} \choose {4}} p^{4}(1-p)^{(k-1)-4}$

Was ist bei dir jetzt X, da komme ich nicht ganz mit?

2020-08-12 18:41 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Nun muss ja beim nächsten Wurf "Kopf" fallen, dass heisst wir können diese Wahrscheinlichkeit mal $p$ rechnen und wir erhalten dann unsere Verteilung:

$\Bbb{P}(X = 5) = {{k-1} \choose {4}} p^{5}(1-p)^{(k-1)-4}$

Stimmt dies?

Nein, das kann ja schon aus dem Grund noch nicht passen, als das vorne die ZV einen festen Wert annimmt und hinten hast du noch die Variable k drin.

Ich will dich aber nicht auf die Folter spannen, nachdem das richtige Stichwort in diesem Thread bereits gefallen ist: es handelt sich um eine sog. Negative Binomialverteilung, wie luis52 in #2 ja schon angemerkt hat. Mit meinem Ansatz würde man da mit einiger Rechnerei auch darauf kommen, aber vielleicht ist dir mit der Art der Verteilung ja bereits geholfen?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-12


Ich komme mit "negativer Binomialverteilung" auf

\(P(X\ge5)=\binom{X-1}{X-5}\cdot(0,5)^X\)

Das lässt sich bei Auflösung des Binomialausdruckes sogar schreiben als

\(P(X\ge1)=\frac{X^4-10X^3+35X^2-50X+24}{24}\cdot(0,5)^X\)

Dabei sind dann   \(X_1=1\) ,   \(X_2=2\) ,   \(X_3=3\)   und   \(X_4=4\)
die Nullstellen des Polynombruch-Faktors 😎


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-12


Nach diesem stochastischen Backflash füllt sich für mich natürlich wieder die Kiste potenzieller Knobelaufgaben 😉

Etwa:
Wir werfen einen Würfel X mal hintereinander, bis insgesamt viermal ["1" oder "6"] gefallen ist. Welche Verteilung hat X?


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Vielen Dank für eure Hilfe. Ja die negative Binomialverteilung war zielführend. Ich habe, falls Interesse besteht, hier einen sehr schönen und verständlichen Beweis dieser Verteilung gefunden auf Seite 8.


Nun cramilu ist dies eine Aufgabe, welche ich lösen kann oder werde ich mir da stundenlang den Kopf zerbrechen? 🙃



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-12


Aber klar doch, Math_user! 😉

r ist 4 statt 5, und wie sich p("Kopf") gegenüber p("1" oder "6") verhält, dürfte auch klar sein, oder?!
Dann einfach die Formel von "Seite 8" entsprechend anpassen...


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