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Strukturen und Algebra » Gruppen » Konjugationsklassen von Permutationen
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Universität/Hochschule Konjugationsklassen von Permutationen
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Hallo Zusammen,

Die es Taucht immer wieder die Frage auf nach den Elementen und der Kardinalität der Konjugationsklassen von $\mathfrak{A}_4$, bzw. $\mathfrak{A}_n$

Selbstverständlich haben wir vor einiger Zeit in der Gruppentheorie sowohl Konjugationen als auch Permutationen behandelt.

Aber erinnere mich nicht daran, dies unter einen Hut gebracht zu haben.

Nun habe ich lange Zeit im Internet nach geeigneten Informationen gesucht und bin leider nicht schlauer geworden.


am Beispiel von $\mathfrak{A}_4$: Es ist mir bekannt, dass jede Permutation eine Konjugationsklasse Repräsentiert.

Aber wie finde ich alle Klassen mitglieder von z.B. $(123)$?

Wie kann ich die Anzahl solcher Klassen bestimmen?



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-13


Die Stichworte zur Anzahlbestimmung sind Bahnformel, Zentralisator und Index.

Frage sonst konkreter nach, wo das Problem liegt.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-13


Die Konjugationsklassen in symmetrischen Gruppen sind durch den Permutationstypen der Permutation bestimmt. Bei alternierenden Gruppen ist es ein bisschen schwieriger. Auf Seite 10 von diesen Texten von mir kannst du etwas zu Konjugationsklassen alternierende Gruppen finden.

Alternativ sollte man online eigentlich auch etwas zu diesen Konjugationsklassen finden können (bzw. im Buch von James, Liebeck wird es glaube ich auch behandelt).


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


hallo hippias, vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Ich komme leider noch immer nicht drauf.


Die Gruppe $\mathfrak{A}_4$ umfasst lediglich 12 Elemente und ist daher noch überschaubar.

Wie kann man auf die schnelle sehen, dass $|\mathfrak{A}_4|=12$

Wie kann man auf die schnelle erkennen, dass $\mathfrak{A}_n$ in genau 4 Konjugationsklassen eingeteilt werden kann?

Wie kann man danach die einzelnen Elemente schnell einer Konjugationsklasse zuordnen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo sulky,

2020-08-13 11:33 - sulky in Beitrag No. 3 schreibt:
Wie kann man auf die schnelle sehen, dass $|\mathfrak{A}_4|=12$

wirklich weiterhelfen kann ich dir hier mangels Kenntnissen nicht. Da sich hier aber leider wieder ziemlich unerfreuliches abspielt, haue ich mal mein Wissen raus, um wenigstens diese eine Frage zu klären.

Die Gruppe \(S_4\) ist ja die symmetrische Gruppe aller vierelementigen Permutationen. Davon gibt es naturgemäß \(4!=24\). Also ist \(\left|S_4\right|=24\).

Die sog. alternierende Gruppe \(A_n\) ist stets diejenige Untergruppe der symmetrischen Gruppe \(S_n\), die aus allen geraden Permutationen besteht. Das ist halt naturgemäß jeweils genau die Hälfte, und so kommt man hier unmittelbar auf \(\left|A_4\right|=12\).

@JonyGo:
was du hier machst ist eventuell gut gemeint. Aber wie heißt es so schön: Das Gegenteil von 'gut' ist 'gut gemeint'.



Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Vielen Dank Diophant,

gut erklärt.

Nun geht es aber darum zu erkennen, dass diese zwölf elemente in genau 4 Konjugationsklassen eingeteilt werden.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Ja, Ich sehe es auch ein.
Wenn man sich die 4*4 Permutationsmatrix anschaut, dann ist sofort klar, dass in $S_4$ genau 4! Elemente sein können und $A_4$ somit die Hälfte.

Jedoch stimmt es nicht dass man auf 24 kommt weil es 4! Anordnungen der Form  $(a,b,c,d)$ gibt. Denn man muss daran denken, dass $(a,b,c,d)=(b,c,d,a)$ somit gibt es lediglich 6 solche 4er Klammern.

Ich denke sogar, dass die 4er der Form $(a,b,c,d)$ gar nicht in $\mathfrak{A}_4$ gehört.



Nun habe ich aber $\mathfrak{A}_4=\{(123); (132); (124); (142); (134); (143); (234); (243) ;(12)(34); (13)(24); (14)(23) ;id\}$


Durch ausprobieren fände ich sofort die 4 Konjugationsklassen, aber da gibt es doch bestimmt mathematischere Wege um die anzahl Klassen zu finden und die 12 Elemente zuzuordnen



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-13


2020-08-13 17:10 - sulky in Beitrag No. 10 schreibt:

Jedoch stimmt es nicht dass man auf 24 kommt weil es 4! Anordnungen der Form  <math>(a,b,c,d)</math> gibt. Denn man muss daran denken, dass <math>(a,b,c,d)=(b,c,d,a)</math> somit gibt es lediglich 6 solche 4er Klammern.

Doch, das stimmt schon. Die "Anordnung" ist etwas anderes als die Zyklenschreibweise.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


ok. es gibt 4! Anordnungen dieser Form, welche dennoch lediglich 6 Permutationen darstellen.


Dies die einfache Frage. Aber nun: Wie sieht man sofort dass die 12 Permutationen in 4 Konjugationsklassen eingeteilt werden können?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-14


2020-08-13 23:10 - sulky in Beitrag No. 12 schreibt:
ok. es gibt 4! Anordnungen dieser Form, welche dennoch lediglich 6 Permutationen darstellen.

Nein, die unterschiedlichen Anordnungen betrachtet man nicht mit der Zyklenschreibweise, sondern als Bild von $1234$ nach Anwendung der Permutation. (Deshalb heißen Elemente des $S_n$ ja auch Permutationen.)

2020-08-13 23:10 - sulky in Beitrag No. 12 schreibt:
Dies die einfache Frage. Aber nun: Wie sieht man sofort dass die 12 Permutationen in 4 Konjugationsklassen eingeteilt werden können?

Hast du dir meinen Beitrag (No. 2) durchgelesen? Bestimme Konjugationensklassen von $S_4$, was unmittelbar aus dem Permutationstypen abgelesen werden kann. Wähle die geraden Konjugationsklassen auf und prüfe, ob sie mit ungeraden Konjugationsklassen des $S_4$ kommutieren. Wende den entsprechenden Satz im Artikel an.


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