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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Verschachtelte Wurzeln vereinfachen
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Universität/Hochschule Verschachtelte Wurzeln vereinfachen
MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Hey Leute,

hat zufällig jemand eine Idee, wie man verschachtelte Wurzeln vereinfachen kann?

Beispiel: \(\sqrt[3]{10+\sqrt{108}} = 1 + \sqrt{3}\)
Wie kann man da analytisch drauf kommen, wenn man das Ergebnis nicht weiß?

Meine Idee: Mit \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) hab ich bereits den Ansatz \(10+\sqrt{3}\cdot6 = \left(a+\sqrt{3}\cdot b\right)^3\) probiert, was mich aber nur auf eine Gleichung 6. Grades geführt hat, also wahrscheinlich nicht der richtige Weg ist.

Was denkt ihr?



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12


hast du mal versucht, die Gleichung zu potenzieren ?

Gruss Dietmar



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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Ich habe es mit der Gleichung \(x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}}\) probiert. Hab sie hoch 3 gerechnet und umgestellt, dann komme ich zurück zur ursprünglichen Gleichung \(x^3+6x-20=0\). Dann wäre die ganze Arbeit umsonst gewesen. Oder hast du beim Potenzieren einen anderen Hintergedanken?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das ist natürlich immer eine ergebnisoffene Angelegenheit. Kennt man das Ergebnis, dann kann man durch Probieren auf folgendes kommen:

\[\ba
\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}&=\sqrt[3]{10+\sqrt{36\cdot 3}}\\
\\
&=\sqrt[3]{1+9+6\sqrt{3}}\\
\\
&=\sqrt[3]{1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3}}\\
\\
&=\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{3}\right)^3}\\
\\
&=1+\sqrt{3}
\ea\]
Wenn ich jedoch ganz ehrlich bin, habe ich zunächsteinmal \(\left(1+\sqrt{3}\right)^3\) ausgerechnet. 😉


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Wow danke dir, gibts dafür eine Regel oder ein Schema wie man vorgehen kann? Ich möchte das gern im Allgemeinen verwenden, um mit der Formel von Cardano exakt die Nullstellen von Polynomen vom Grad 3 zu lösen. Da kommen nur leider ziemlich oft solche Ausdrücke vor und man kennt ja im Allgemeinen die Vereinfachung nicht.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-12


Auf MSE/1186619 könnten ein paar nützliche Hinweise dabei sein. Laut Wikipedia ist eine solche Vereinfachung im Allgemeinen aber schwer.

2020-08-12 17:59 - MasterWizz im Themenstart schreibt:
Meine Idee: Mit \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) hab ich bereits den Ansatz \(10+\sqrt{3}\cdot6 = \left(a+\sqrt{3}\cdot b\right)^3\) probiert, was mich aber nur auf eine Gleichung 6. Grades geführt hat, also wahrscheinlich nicht der richtige Weg ist.

Das ist übrigens eine Gleichung 3. Grades.

2020-08-12 18:22 - MasterWizz in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe es mit der Gleichung \(x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}}\) probiert. Hab sie hoch 3 gerechnet und umgestellt, dann komme ich zurück zur ursprünglichen Gleichung \(x^3+6x-20=0\). Dann wäre die ganze Arbeit umsonst gewesen. Oder hast du beim Potenzieren einen anderen Hintergedanken?

So hat Dietmar es nicht gemeint. Wenn du die Gleichung zur dritten Potenz nimmst, dann verschwindet $\sqrt[3]{}$. Außerdem ist es eine Äquivalenzumformung, du musst also die Gleichung nur so lange manipulieren bis du sagen kannst, dass es tatsächlich eine Gleichung ist.

Dieser Ansatz funktioniert aber natürlich nur dann, wenn man die Lösung bereits kennt.



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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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MasterWizz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Hey vielen vielen Dank für deine Hilfe!! Das ist genau was ich gesucht hab. Ich schaus mir gründlich an und weiß zur Not, wo ich weiter suchen kann! DANKE :)



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
ThomasRichard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-14


Hallo,

leider habe ich diese Diskussion erst jetzt gesehen, aber vielleicht ist noch ein Literaturhinweis angebracht:

Computer Algebra Systems - A Practical Guide
Edited by Michael J. Wester
Wiley 1999
Homepage: hier

Schon ein wenig älter, aber es enthält ein ganzes Kapitel (ca. 12 Seiten):

4. Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting


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Thomas Richard
Application Engineering / Technischer Support
Maplesoft Europe GmbH



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