Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Mathematik » Geometrie » Geodäte auf Paraboloid
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Geodäte auf Paraboloid
christoph99
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.08.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-13


Servus!

In einem älteren Thread geht es um folgende Fragestellung:

Gegeben sei ein Paraboloid in Parameterdarstellung, sowie zwei Punkte auf dem Paraboloid, gesucht ist die kürzeste Verbindung der Punkte.

In dem ursprünglichen Thread    gibt es ein paar Dinge, die ich noch nicht nachvollziehen kann, also will ich nochmal von vorne beginnen:


- Parametrisierung eines elliptischen Paraboloids in Zylinderkoordinaten:

$$\begin{equation}(u,v)\mapsto \begin{pmatrix} u\cos{v} \\ u\sin{v} \\ u^2 \end{pmatrix}\end{equation}$$
Hier übernimmt $u$ die Rolle des Radius ($u \geq 0$), und $v$ ist der Azimuthwinkel im Intervall $[0,2\pi)$.

- Parametrisierung einer Kurve auf dem Paraboloid:

$$\begin{equation} t \mapsto \begin{pmatrix} u(t)\cos(v(t)) \\ u(t)\sin(v(t)) \\ u(t)^2 \end{pmatrix} \end{equation}$$
Jetzt macht es intuitiv Sinn, dass nur speziell beschaffene Funktionen $u(t)$ und $v(t)$, eingesetzt in Gl. 2, eine Linie kürzester Verbindung auf dem Paraboloid darstellt.

Im Originalthread wurde auf die Euler-Lagrange-Gleichung und ihre Lösung verwiesen:


$$ \begin{equation} u-c^2=u(1+4c^2)\sin^2\left(v-2c\ln\left(k\left(2\sqrt{u-c^2}+\sqrt{4u+1}\right)\right)\right) \end{equation} $$
Offensichtlich ist Gl. 3 die (notwendige) Bedingung für eine Geodäte.

Hier kommt der Knackpunkt: wie erhält man in Gl. 3 eine Abhängigkeit von $t$, also statt $u$ und $v$ jetzt $u(t)$ und $v(t)$, um in Gl. 2 einsetzen zu können?

Gruß,
Christoph



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-14


Hallo,

Es ist wohl eine explizite Darstellung von u(t) und v(t) gemeint.
Diese erhält man über den Hauptsatz über implizite Funktionen.

Gruß von BigR2020



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
christoph99
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.08.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-17


BigR, danke für deinen Hinweis!

Ich war zu sehr auf die Notation versteift - wenn man Gl. 3 nach $v$ umstellt, hängt der Wert von $v$ nur mehr von $u$ ab, also liegt nach dem Umformen die Darstellung $v(u)$ vor.

Setzt man $v(u)$ in Gl. 1 ein, ist diese nicht mehr von $u$ und $v$, sondern nur noch von $u$ abhängig.
 
Wenn ich das richtig sehe, hat man ab hier eine nach $u$ parametrisierte Kurve im $R^3$ vorliegen, die sowohl auf dem Paraboloid liegt, als auch eine Geodäte ist.

Braucht man hier den Satz über implizite Funktionen?

Gruß,
Christoph



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-17


Hallo,

Ja auch beim umstellen braucht man den Hauptsatz über implizite Funktionen.
Er gibt an, wann man invertieren darf.

Gruß von BigR2020



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
christoph99
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.08.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-24


Bevor es mit dem eigentlichen Thread weitergeht: im obigen Link zu MathWorld, auf der die Geodätengleichung (11) für das Paraboloid steht, ist ein Fehler: die Parameter $P$, $Q$ und $R$ sind zwar richtig angeschrieben, aber dann falsch gerechnet: $Q$ ist gleich Null, nicht dieser geklammerte Ausdruck.

Ob das am Ergebnis der Euler-Lagrange-Gleichung etwas ändert, muss ich noch nachrechnen.

Nochwas: offenbar sind $P$, $Q$ und $R$ ident zu den Koeffizienten der ersten Fundamentalform $E$, $F$ und $G$, scheint grundlegend zu sein für die Differentialgeometrie (in MathWorld leider nicht direkt verlinkt).

Ich selbst kannte das Konzept jedenfalls noch nicht...

Gruß,
Christoph



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
christoph99 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]