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Universität/Hochschule Unklarheit zu Beweis bezüglich Cox-Ross-Rubinstein-Modell
daenerystargaryen Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Themenstart: 2020-08-14

Hi,
ich versuche gerade eine Beweisaufgabe nachzuvollziehen, aber verstehe zwei wesentliche Schritte nicht. Es geht um diese Aufgabe:


Die a), worauf sich bezogen wird habe ich soweit verstanden. Hier wurde gezeigt, dass das Q Schlange eine Wahrscheinlichkeitsmaß ist:
und in 2.9 stehen nur nochmal unsere Defintionen für Q und q:


Jetzt verstehe ich allerdings nicht, wieso in der zweiten Zeile der eigentlichen Aufgabe(in blau) in der dritten Zeile einfach ein Summenzeichen hineingezogen wurde und in der daurauffolgenden Zeile ein $u$ aus dem Produkt gezogen wurde, bzw. wie die Indizes das rechtfertigen.

ich hoffe, dass ich alle nötigen Informationen in diesen Text getan habe und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Viele Grüße
daenerystargaryen




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Nuramon Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-14
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

mit Finanzmathematik kenne ich mich nicht aus. Damit man den Beweis nachvollziehen kann, müsstest du mindestens noch die Definition von $S_T(\omega), B_T$ und $S_0$ angeben.

Ich versuche trotzdem mal zu antworten:
 

Jetzt verstehe ich allerdings nicht, wieso in der zweiten Zeile der eigentlichen Aufgabe(in blau) in der dritten Zeile einfach ein Summenzeichen hineingezogen wurde
Da $\tilde Q$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, gilt
$$ \tilde Q(\{\omega \in \Omega\mid \omega_t = u\}) = \sum_{\omega\in \Omega \\ \omega_t = u}\tilde Q(\{\omega\}).$$ Einsetzen der Definition von $\tilde Q$ liefert dann (vermutlich) Zeile 3.

 und in der daurauffolgenden Zeile ein $u$ aus dem Produkt gezogen wurde, bzw. wie die Indizes das rechtfertigen.
Da wurde einfach verwendet, dass $\omega_t=u$ gilt.
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-14
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo Nuramon, vielen Dank erstmal dass du mir trotzdem geantwortet hast:)
Die fehlenden Informationen sind:
$$S_{T}=S_{0}\prod \limits_{n=1}^{t}Y_{n}$$ $$S_{0}=\frac{uS_{0}}{1+r}q+\frac{dS_{0}}{1+r}(1-q)$$ $$B_{T}=(1+r)^{T}$$
"Einsetzen der Definition von Q~ liefert dann (vermutlich) Zeile 3."
--> Das hat (liegt wahrscheinlich an mir) nicht funktioniert:/



"Da wurde einfach verwendet, dass ωt=u gilt."
-->Das schon, habe das in der Aufgabenstellung überlesen:)

\(\endgroup\)


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Nuramon Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-14
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-08-14 14:20 - daenerystargaryen in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Nuramon, vielen Dank erstmal dass du mir trotzdem geantwortet hast:)
Die fehlenden Informationen sind:
$$S_{T}=S_{0}\prod \limits_{n=1}^{t}Y_{n}$$ $$S_{0}=\frac{uS_{0}}{1+r}q+\frac{dS_{0}}{1+r}(1-q)$$ $$B_{T}=(1+r)^{T}$$
"Einsetzen der Definition von Q~ liefert dann (vermutlich) Zeile 3."
--> Das hat (liegt wahrscheinlich an mir) nicht funktioniert:/
Deine Definition von $S_0$ kann irgendwie nicht stimmen, da $S_0$ auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt.
Aber ist auch egal, da sich $S_0$ in der Definition von $\tilde Q(\{\omega\})$ dann rauskürzt:
$$ \tilde Q(\{\omega\}) = \frac{S_T(\omega)}{B_T S_0}Q(\{\omega\}) = \frac 1{(1+r)^T}\prod_{n=1}^T\omega_n \cdot Q(\{\omega\}).$$ Jetzt noch die Definiton von $Q(\omega)$ einsetzen und dann hast du den Term aus Zeile 3.
\(\endgroup\)


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AnnaKath Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-14

Huhu zusammen,

Nuramon ist mir hoffentlich nicht böse, wenn ich dazwischen plappere...

Tatsächlich sind die fraglichen Schritte in der blau hinterlegten Lösung wohl kaum ohne die beabsichtigte Interpretation nachzuvollziehen.

Während es noch recht offensichtlich ist, dass mit $B_t = B_0 (1+r)^t$ der Wert eines (risikolosen) Bonds (zum risikolosen Marktzins $r$) und $S_t$ der Wert des risky assets ("stock") gemeint sein sollen (und offenbar darüberhinaus $B_0=1$ angenommen ist), erschliessen sich die $u$ und $d$ mir leider nicht.

Das CRR-Modell ist ein $T$-Perioden-Binomialmodell, d.h. es gibt zu jedem Zeitpunkt $t \in \{1, ..., T\}$ eine Wahrscheinlichkeit $z_t$ und zwei Beträge $a_t$ und $b_t$ , so dass $S_t = S_{t-1} + a_t$ mit W'keit $z_t$ oder $S_t = S_{t-1} - b_t$ mit W'keit $1-z_t$ gilt. Hier scheinen alle W'keiten konstant zu sein und die Kursänderungen der "Aktie" als relative Abweichungen gemessen zu werden, also "ungefähr" $S_t = uS_{t-1}$ mit W'keit $z$ oder $S_t = dS_{t-1}$ mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit $1-z$. Es ist klar, dass durch den Übergang zum äquivalenten Martingalmaß die Wahrscheinlichkeit $z$ nicht mehr in den späteren Rechnungen auftritt, aber ohne etwas mehr Erklrung kann zumindest ich den Auftakt der Rechnung nicht nachvollziehen.

lg, AK.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Nuramon Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-14

2020-08-14 14:42 - AnnaKath in Beitrag No. 4 schreibt:
Nuramon ist mir hoffentlich nicht böse, wenn ich dazwischen plappere...

Tatsächlich sind die fraglichen Schritte in der blau hinterlegten Lösung wohl kaum ohne die beabsichtigte Interpretation nachzuvollziehen.

Rein algebraisch verstehe ich den Beweis, denke ich. Was das ganze inhaltlich bedeuten soll ist mir aber schleierhaft, da ich mich noch nie mit Finanzmathematik beschäftigt habe. Misch dich also gern ein. 😉



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AnnaKath Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-14

Huhu,

ich wollte nur helfen, die fehlenden Stücke zusammenzupuzzeln. Die Mutter der Drachen hat ja schon einige Ausführungen gemacht, es fehlt meines Erachtens noch die (typischerweise rekursive) Definition von $S_t$. Die mittlere Gleichung von Danaerys sieht schon ganz gut aus, aber die kann nicht stimmen (neben der Tatsache, das links $S_{t+1}$ und rechts $S_t$ stehen müsste), denn $S$ muss ein stochastischer Prozess sein und $S_t$ explizit von $\omega_t$ abhängen.

Natürlich ist es ("algebraisch") möglich, die Rechnung auf die Definition des zugrundeliegenden (Binomial-)Maßes $Q$ zurückzuführen (wie Nuramon es sagte), allerdings wäre diese Aufgabe dann in meinen Augen eher kontraproduktiv. Man geht ja u.a. gerade deshalb zum äquivalenten Martingalmass $\tilde{Q}$ über, da dann die Rechnungen ohne das sehr umständlich zu handhabende $Q$ (bzw. die Wahrscheinlichkeit $z$ aus #4) elegant durchzuführen ist.

lg, AK



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AnnaKath Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-14

Zum Abschluss und um ggf. Verwirrung zu verringern:

Wie Nuramon schon sagte, muss man tatsächlich nichts weiter tun, als Definitionen einsetzen und ein bisschen herumrechnen.

Das Ergebnis ergibt sich mit $S_t = S_0 u^{c_t} d^{t-c_t}$ wobei $c_t = | \{ j \leq t : \omega_j = u \} |$ ein Zählprozess ist, der schlicht die Anzahl der Aufwärtsbewegungen zählt.

Im Übrigen ergibt dann auch $S_{0}=\frac{u}{1+r}S_{0}q+\frac{d}{1+r}S_{0}(1-q)$ Sinn, auf der linken Seite steht nämlich $E^Q \frac{S_1}{1+r}$ und mit dieser Gleichung lässt sich $q$ (wie von Danaerys angegebenen) bestimmen.

lg, AK.



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daenerystargaryen Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15

Hallo AnnaKath und Nuramon, vielen Dank für eure Hilfe, ich habe mich sehr gefreut, als ich die Nachrichten gerade gesehen habe:)

Ich denke, dass ich die Aufgabe nun (vor allem mit der rekursiv definierten Formel aus der letzen Nachricht) soweit verstanden habe



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daenerystargaryen Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-16

Sorry, dass ich jetzt doc nochmal nachhake. Wieso man das u herausziehen darf habe ich verstanden, aber was ist mit dem q, wieso darf man das aus dem Produkt nehmen?



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AnnaKath Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-16

Huhu Daenerys,

die fragliche Stelle lautet $\prod \limits_{m=1}^{T} q(\omega_m) = q \prod \limits_{m=1, m\neq t}^{T} q(\omega_m)$. Wie Du siehst, steht auf der rechten Seite ein Faktor weniger im Produktzeichen, nämlich genau $q(\omega_t)$. Man hat also lediglich einen Faktor explizit aufgeschrieben, also $\prod \limits_{m=1}^{T} q(\omega_m) = q(\omega_t) \cdot \prod \limits_{m=1, m\neq t}^{T} q(\omega_m)$ und dann ausgenutzt, dass man weiss, dass $\omega_t=u$ und somit $q(\omega_t)=q(u) = q$ ist.

Da steckt weder inhaltliche noch algebraische Magie drin...

Einen schönen Sonntag und lg,
AK


Eine kleine persönliche Nachfrage: Als Du aus dem brennenden Haus mit den ganzen sterbenden Khals getreten bist, da hattest Du Dir aber vorher schon noch die Haare etwas zurecht gemacht, oder? Sonst hasse ich Dich noch mehr...



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daenerystargaryen Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-16

Hallo AnnaKath, vielen dank für deine Nachricht und bitte entschuldige die späte Antwort.
Jetzt wo du dass so aufgeschrieben hast, sieht es ganz einfach aus und ich habe den springenden Punkt jetzt gesehen.
Ich hoffe auch, dass du einen schönen Sonntag hattest:)
VG




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