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Analysis » Folgen und Reihen » Analyse einer rekursiven Folge: explizite Formel nötig/möglich?
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Universität/Hochschule Analyse einer rekursiven Folge: explizite Formel nötig/möglich?
Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-15


Hallo an alle,

bei der Korrektur einer Prüfung konnte ich die folgende Aufgabe nicht lösen:


Gegeben ist die Folge $(a_n)$, mit $n∈N_0$, durch $a_{n+1}=\frac{a_n}{(2+a_n )},a_0=1$

* Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass die Folge $(a_n)$ durch $L=0$ und $U=1$ beschränkt ist.

* Beweisen Sie, dass die Folge $(a_n)$ streng monoton fallend ist.

* Begründen Sie, warum die Folge $(a_n)$ konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.


Da ich nicht wüsste, wie ich die Aufgaben mit der rekursiven Folge lösen sollte, habe ich versucht eine explizite Formel,
also eine Funktion der Form $a(n)$ zu finden. Jedoch bin ich da nicht weiter gekommen...

Einsetzen hat die folgenden Werte ergeben:
$n$        $a_n$        $a_{n-1}-a_n$
0        1        -
1        1/3        2/3
2        1/7        4/21
3        1/15        8/105
4        1/31        16/465
5        1/63        32/1953

Leider erkenne ich hier keine Zusammenhänge und kann daher keine Funktion $a(n)$ aufstellen...
Das Einzige was mir auffällt, ist, dass der Nenner immer zweimal der Wert des vorherigen Nenners plus 1 ist.
Aber das wäre ja wieder rekursiv...

Nun meine Fragen:
* Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise, um eine explizite Funktion für eine rekursiver Folge zu finden?
* Wie würde ich eine explizite Formel für dieses konkrete Beispiel finden?
* Oder sollte das Beispiel ohne explizite Formel, sondern direkt über die rekursive Folge gelöst werden?

Danke bereits im Voraus für Rückmeldungen!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

eine explizite Darstellung sieht man hier durch einmal scharf Hinsehen:

\[a_n=\frac{1}{2^{n+1}-1}\]
Das hilft aber nichts. Wenn man in einer Klausur einen solchen Beweis erbringen soll, dann sollte man das auch mit der rekursiven Darstellung tun.

Anderenfalls müsstest du jedenfalls die explizite Darstellung auch erstmal mittels vollständiger Induktion beweisen.

Aber wie gesagt: von dieser Vorgehensweise würde ich abraten.


Gruß, Diophant


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\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-15


Also davon abraten würde ich jetzt nicht - es ist ein völlig legitimer und guter Ansatz.


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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-15 12:31 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

eine explizite Darstellung sieht man hier durch einmal scharf Hinsehen:

\[a_n=\frac{1}{2^{n+1}-1}\]
Das hilft aber nichts. Wenn man in einer Klausur einen solchen Beweis erbringen soll, dann sollte man das auch mit der rekursiven Darstellung tun.

Anderenfalls müsstest du jedenfalls die explizite Darstellung auch erstmal mittels vollständiger Induktion beweisen.

Aber wie gesagt: von dieser Vorgehensweise würde ich abraten.


Gruß, Diophant


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Hallo Diophant,

danke für die Rückmeldung!
Das hätte ich auf die Schnelle nie so gesehen!

Ich habe zuvor jedoch noch nie eine vollständige Induktion bzw. das Monotonieverhalten auf rekursiven Folge angewandt...

Wie mache ich das hier? Normalerweise setze ich für $x$ (bzw. hier für $n$) auf einer Seite $n+1$ ein und schaue was ich umformen kann. Jedoch handelt es sich dieses Mal ja um eine rekursive Form und ich soll zeigen, dass diese innerhalb einer gewissen Grenze liegt. Habe beides noch nie so gemacht...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


2020-08-15 12:36 - Kezer in Beitrag No. 2 schreibt:
Also davon abraten würde ich jetzt nicht - es ist ein völlig legitimer und guter Ansatz.

Der Vorteil wäre halt, dass ich dann mit einer expliziten Formel so rechnen könnte, wie es mir bekannt ist! Aber eben habe ich diese leider nicht gefunden...
Gibt es da ein "Rezept" wie man auf so eine Formel kommt?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-15


@Kezer:
2020-08-15 12:36 - Kezer in Beitrag No. 2 schreibt:
Also davon abraten würde ich jetzt nicht - es ist ein völlig legitimer und guter Ansatz.

Ok. Das kenne ich von früher her anders. Ist aber so ca. 30 Jährchen her...

Auf jeden Fall ist das eigentliche Problem ja, dass es eben kein Patentrezept gibt für das Auffinden einer expliziten Darstellung. Bei einer linearen Rekursion - ja, da geht das.

@Flo94:
Kezer ist da an der akademischen Praxis näher dran als ich. Ich sehe totzdem das Problem, dass man u.U. viel Zeit damit vertut, diese Darstellung zu finden und zu beweisen. Wenn man sie aber gleich sehen kann so wie hier (beachte die Nenner: die sind jeweils um 1 kleiner als aufeinanderfolgende Zweierpotenzen), dann kannst du das machen. Es entbindet dich aber nicht von den geforderten Untersuchungen auf Beschränktheit, Monotonie und ggf. den Grenzwert.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


2020-08-15 12:43 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
@Kezer:
2020-08-15 12:36 - Kezer in Beitrag No. 2 schreibt:
Also davon abraten würde ich jetzt nicht - es ist ein völlig legitimer und guter Ansatz.

Ok. Das kenne ich von früher her anders. Ist aber so ca. 30 Jährchen her...

Auf jeden Fall ist das eigentliche Problem ja, dass es eben kein Patentrezept gibt für das Auffinden einer expliziten Darstellung. Bei einer linearen Rekursion - ja, da geht das.

@Flo94:
Kezer ist da an der akademischen Praxis näher dran als ich. ICh sehe totzdem das Problem, dass man u.U. viel Zeit damit vertut, diese Darstellung zunfinden und zu beweisen. Wenn man sie aber gleich sehen kann so wie hier (beachte die Nenner: die sind jeweils um 1 kleiner als aufeinanderfolgende Zweierpotenzen), dann kannst du das natürlich machen. Es entbindet dich aber nicht von den geforderten UNtersuchungen auf Beschränktheit, Monotonie und ggf. den Grenzwert.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


Ja genau das war mein Problem, während der Prüfung habe ich zwanghaft versucht eine Formel zu finden und dadurch konnte ich das Beispiel nicht lösen...

Das mit den Zweierpotenzen macht jetzt im Nachhinein absolut Sinn! Aber im enormen Stress während der Prüfung konnte ich das leider nicht sehen und das Berechnen der Glieder ohne Taschenrechner war auch anfällig für Fehler...

Wie würde ich beispielsweise Punkt a) hier lösen in der rekursiven Form?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

Fangen wir mal mit der Beschränktheit nach oben an:

Induktionsanfang:
\[a_0=1\le 1\]
Induktionsschluss:
Wir nehmen \(a_n\le 1\) an und zeigen:

\[a_{n+1}=\frac{a_n}{2+a_n}<\frac{a_n}{a_n+a_n}=\frac{1}{2}<1\]
Dabei habe ich die Annahme \(a_n\le 1\) für die Abschätzung benutzt.

Jetzt versuche dich einmal an der Beschränktheit nach unten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-15 12:42 - Flo94 in Beitrag No. 3 schreibt:
Wie mache ich das hier? Normalerweise setze ich für $x$ (bzw. hier für $n$) auf einer Seite $n+1$ ein und schaue was ich umformen kann. Jedoch handelt es sich dieses Mal ja um eine rekursive Form und ich soll zeigen, dass diese innerhalb einer gewissen Grenze liegt. Habe beides noch nie so gemacht...

Das ist hier wirklich ganz einfach.

IA: trivial

IV: \(0\leq a_n\leq1\)

IS: Zeige, dass \(0\leq\frac{a_n}{2+a_n}\leq1\)

Für die Monotonie zeigst du dann (ohne Induktion), dass \(a_n>\frac{a_n}{2+a_n}\). Hierzu musst du \(0\leq a_n\leq1\) verwenden.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-15


Es gibt heutzutage durchaus auch Dozenten, die deiner Meinung sind, ich sehe das bloß anders.

Man sollte nicht die Kreativität vernachlässigen und alle möglichen Ansätze ausprobieren. Davon ist das Suchen von Mustern eben eine Möglichkeit. Eine andere Möglichkeit ist die rekursive Struktur auszunutzen, diese sollte man bestmöglich auch verstehen - ich finde also bloß, dass man beides verstehen sollte. (Zwar gibt es keinen allgemeinen Ansatz für explizite Formeln, aber es ist auch nicht klar, dass es leicht sein wird, eine Aufgabe mit der rekursiven Struktur zu lösen.)

Was einer Prüfung angeht - nun ja, mir gefiel noch nie das Konzept von solchen Uniprüfungen. In meinen Augen dauert es aber nicht so lange, die ersten Glieder aufzuschreiben und nach Mustern zu suchen (selbst, wenn man keine findet, können diese konkreten Glieder dabei helfen, die Aufgabe zu lösen). In diesem Fall kann (muss nicht!) man unmittelbar eine explizite Form vermuten.

Wie man Prüfungen konkret anpackt, hängt aber wohl auch von den eigenen Fähigkeiten und Stärken ab.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-15


Hallo,

Für mich läuft das Beispiel auf eine Kurvendiskussion von f(a) hinaus.
Eine explizite Darstellung müsste auf Eindeutigkeit geprüft werden.

Gruß von BigR2020



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-15


Hallo,

2020-08-15 13:30 - BigR2020 in Beitrag No. 10 schreibt:
Für mich läuft das Beispiel auf eine Kurvendiskussion von f(a) hinaus...

Was hätte denn eine Kurvendiskussion beim Thema Folgen zu suchen (einmal abgesehen davon, dass man dort Konzepte verwendet, die zum Zeitpunkt wenn man Folgen durchnimmt noch gar nicht zur Verfügung stehen)?


Gruß, Diophant



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-08-15


Die explizite Formel ist schnell hergeleitet. Es gilt $a_{n+1}^{-1} = \frac{a_n+2}{a_n} = 1 + 2 a_n^{-1} \implies 1+a_{n+1}^{-1} = 2(1+a_n^{-1})$. Also ist $1+a_n^{-1} = 2^n \cdot (1+ a_0^{-1}) = 2^{n+1}$, bzw. $a_n = (2^{n+1}-1)^{-1}$.

Mit der expliziten Formel sind dann alle Aufgabenteile trivial.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-15


2020-08-15 13:47 - Diophant in Beitrag No. 11 schreibt:
Hallo,

Was hätte denn eine Kurvendiskussion beim Thema Folgen zu suchen?

Gruß, Diophant

Ich habe im Mathestudium gelernt die Monotonie der rekursiven Folgen auch anhand der Ableitung von f(a) zu bestimmen. Damit erhält man das Konvergenzverhalten bei den möglichen Grenzwerten. Das wurde auch bei der Prüfung so gerechnet.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-08-15


2020-08-15 14:09 - BigR2020 in Beitrag No. 13 schreibt:
Ich habe im Mathestudium gelernt die Monotonie der rekursiven Folgen auch anhand der Ableitung von f(a) zu bestimmen.

Ich nehme an, du meinst f(a) = a/(a + 2). Ich sehe noch nicht ganz, wie man aus der Ableitung von f auf das Monotonieverhalten der Folge schließt.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-08-15


Ich habe das leider schlecht formuliert.

Mit der Ableitung bestimmt man ob die Lösung von a=a/(a+2) ein Grenzwert ist oder nicht. Die Lösung kann anziehen oder abstossen. Das meinte ich mit Monotonie.



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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


Erst mal vielen Dank an alle für die ganzen Rückmeldungen!

Wenn ich das richtig zusammen fasse, ist eine explizite Funktion für dieses Beispiel doch besser geeignet, da die Unterpunkte einfacher gelöst werden können...

Ich muss dazu erwähnen, dass ich nicht Mathematik studiere und ich leider mathematisch keine Kreativität habe und ich solche Ansätze nicht gleich "sehe". Dies hat im Laufe dieses Jahres leider dazu geführt, dass ich bald einen komissionellen Antritt im Fach "Mathematik 1" habe und deshalb möchte ich solche Aufgaben möglichst "wasserdicht" lösen können, da ein erneutes Durchfallen durch die Prüfung existenzbedrohend wäre...

Ebenfalls dazu erwähnen muss ich, dass ich durchschnittlich bei der Prüfung nur 17 Minuten pro Beispiel Zeit habe, deshalb kann ich leider nicht allzu lange herum probieren.

Ich rechne jetzt mal das Beispiel mit dem Ansätzen von euch durch und schaue, wie ich damit klar komme und melde mich nachher wieder dazu.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-08-15


Hallo,

2020-08-15 14:54 - Flo94 in Beitrag No. 16 schreibt:
Ich muss dazu erwähnen, dass ich nicht Mathematik studiere und ich leider mathematisch keine Kreativität habe und ich solche Ansätze nicht gleich "sehe". Dies hat im Laufe dieses Jahres leider dazu geführt, dass ich bald einen komissionellen Antritt im Fach "Mathematik 1" habe und deshalb möchte ich solche Aufgaben möglichst "wasserdicht" lösen können, da ein erneutes Durchfallen durch die Prüfung existenzbedrohend wäre...

Vor dem Hintergrund würde ich speziell diese Frage (also: arbeiten mit der expliziten Darstellung wird in diesem Zusammenhang anerkannt, ja oder nein) mit einem/einer zuständigen Dozent*in klären.

Und wie ich schon oben geschrieben habe: auch wenn es möglich ist (was ja zu begrüßen wäre): ich würde mich da nicht zu sehr darauf versteifen, sonst passiert dir das genau so wieder, wie du es in Beitrag #6 geschildert hast.

Vor so einer Kommission ist das ja dann auch nochmal etwas anderes als in einer schriftlichen Klausur...


Gruß, Diophant




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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-15 12:51 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo,

Fangen wir mal mit der Beschränktheit nach oben an:

Induktionsanfang:
\[a_0=1\le 1\]
Induktionsschluss:
Wir nehmen \(a_n\le 1\) an und zeigen:

\[a_{n+1}=\frac{a_n}{2+a_n}<\frac{a_n}{a_n+a_n}=\frac{1}{2}<1\]
Dabei habe ich die Annahme \(a_n\le 1\) für die Abschätzung benutzt.

Jetzt versuche dich einmal an der Beschränktheit nach unten.


Gruß, Diophant

@Diophant:
ich hänge leider schon bei der ersten Zeile. Wie kommst du da von $\frac{a_n}{2+a_n}$ auf $\frac{a_n}{a_n+a_n}$? Der Rest macht ja Sinn...
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Induktionsannahme ist ja \(a_n\le 1\). Danach gilt insbesondere \(a_n<2\). Indem ich also die \(2\) durch \(a_n\) ersetze, verkleinere ich den Nenner des Bruchterms. Damit wird der Term jedoch insgesamt größer: ich habe nach oben abgeschätzt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-15 17:23 - Diophant in Beitrag No. 19 schreibt:
Hallo,

die Induktionsannahme ist ja \(a_n\le 1\). Danach gilt insbesondere \(a_n<2\). Indem ich also die \(2\) durch \(a_n\) ersetze, verkleinere ich den Nenner des Bruchterms. Damit wird der Term jedoch insgesamt größer: ich habe nach oben abgeschätzt.


Gruß, Diophant

Ok, auf solche Umformungen wäre ich nie von selbst gekommen.
Kann ich auch für $a_n=1$ einsetzen und dann bekomme ich $1/3$ raus was $<1$ ist?
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2020-08-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-16 11:00 - Flo94 in Beitrag No. 20 schreibt:
Ok, auf solche Umformungen wäre ich nie von selbst gekommen.
Kann ich auch für $a_n=1$ einsetzen und dann bekomme ich $1/3$ raus was $<1$ ist?

Hm, das ergibt keinen Sinn. Wenn du das Folgenglied einfach durch einen Wert ersetzt, hast du ja keine Garantie, dass die Abschätzung gültig ist (weil \(a_n\) im Zähler und im Nenner vorkommt). Und letztendlich habe ich hier einfach die - in meinen Augen -einfachste Möglichkeit für eine Abschätzung genommen.

Die alte Weisheit, dass ein Bruch größer wird, wenn man seinen Nenner verkleinert und umgekehrt, die ist in der Analysis gerade für solche Abschätzungen ein viel benutztes Werkzeug aus einem ganzen Werkzeugkasten von häufigen Vorgehensweisen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-16 11:10 - Diophant in Beitrag No. 21 schreibt:
Hallo,

2020-08-16 11:00 - Flo94 in Beitrag No. 20 schreibt:
Ok, auf solche Umformungen wäre ich nie von selbst gekommen.
Kann ich auch für $a_n=1$ einsetzen und dann bekomme ich $1/3$ raus was $<1$ ist?

Hm, das ergibt keinen Sinn. Wenn du das Folgenglied einfach durch einen Wert ersetzt, hast du ja keine Garantie, dass die Abschätzung gültig ist (weil \(a_n\) im Zähler und im Nenner vorkommt). Und letztendlich habe ich hier einfach die - in meinen Augen -einfachste Möglichkeit für eine Abschätzung genommen.

Die alte Weisheit, dass ein Bruch größer wird, wenn man seinen Nenner verkleinert und umgekehrt, die ist in der Analysis gerade für solche Abschätzungen ein viel benutztes Werkzeug aus einem ganzen Werkzeugkasten von häufigen Vorgehensweisen.


Gruß, Diophant

Ok, hmm, dann scheint das wohl wirklich die beste Lösung zu sein...
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-08-16


Man muss nicht eine solche Abschätzung benutzen, die eher vom Himmel fällt und nur funktioniert, weil die Ungleichung so grob ist.

Zunächst lässt sich schnell zeigen, dass $a_n \geq 0$ ist. Um $a_{n+1} < 1$ zu zeigen, muss man nach Benutzung der Induktionsvoraussetzung bloß die Äquivalenzumformung $$ \frac{a_n}{2+a_n} < 1 \iff a_n < 2 + a_n \iff 0 < 2 $$ einsehen. (Hier benutzen wir $a_n \geq 0$.)

Ich verlinke mal Wie man einfache Beweis ohne Mühe finden kann von Triceratops.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-16


2020-08-16 11:21 - Kezer in Beitrag No. 23 schreibt:
Man muss nicht eine solche Abschätzung benutzen, die eher vom Himmel fällt und nur funktioniert, weil die Ungleichung so grob ist.

Zunächst lässt sich schnell zeigen, dass $a_n \geq 0$ ist. Um $a_{n+1} < 1$ zu zeigen, muss man nach Benutzung der Induktionsvoraussetzung bloß die Äquivalenzumformung $$ \frac{a_n}{2+a_n} < 1 \iff a_n < 2 + a_n \iff 0 < 2 $$ einsehen. (Hier benutzen wir $a_n \geq 0$.)

Ich verlinke mal Wie man einfache Beweis ohne Mühe finden kann von Triceratops.

Wie zeige ich denn schnell, dass $a_n>0$ ist?
Diese Lösung für $a_n<1$ gefällt mir sehr! Danke dafür!



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-08-16


Das solltest du selber mal versuchen. (Schließlich ist es genau der gleiche Beweis.)


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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-16


Für Punkt b) habe ich das Folgende berechnet:

$a_{n+1}>a_{n+2} \Rightarrow \frac{a_n}{2+a_n}>a_{n+2} \Rightarrow \frac{a_n}{2+a_n}>\frac{a_{n+1}}{2+a_{n+1}}=\frac{\frac{a_n}{2+a_n}}{2+\frac{a_n}{2+a_n}}=\frac{a_n}{4+3*a_n} \Rightarrow  4+3*a_n>2+a_n \Rightarrow a_n>-1$

Was ja durch $a_n>0$ aus a) stimmt?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.24 begonnen.]



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Flo94
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2020-08-16 11:55 - Kezer in Beitrag No. 25 schreibt:
Das solltest du selber mal versuchen. (Schließlich ist es genau der gleiche Beweis.)

$a_{n+1}>0 \Rightarrow \frac{a_n}{2+a_n}>0 \Rightarrow a_n>0$


Ist das so Beweis genug?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2020-08-16


Das ist die richtige Idee. Du solltest aber noch einen Satz dazuschreiben, um dein Argument zu erläutern.

Die Pfeilrichtungen ergeben in dieser Art auch noch keinen Sinn.


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-08-16


2020-08-16 11:56 - Flo94 in Beitrag No. 26 schreibt:
Für Punkt b) habe ich das Folgende berechnet:

$a_{n+1}>a_{n+2} \Rightarrow \frac{a_n}{2+a_n}>a_{n+2} \Rightarrow \frac{a_n}{2+a_n}>\frac{a_{n+1}}{2+a_{n+1}}=\frac{\frac{a_n}{2+a_n}}{2+\frac{a_n}{2+a_n}}=\frac{a_n}{4+3*a_n} \Rightarrow  4+3*a_n>2+a_n \Rightarrow a_n>-1$

Was ja durch $a_n>0$ aus a) stimmt?

Das ist zumindest sehr kompliziert. Wie es einfacher geht: Siehe #8.

Überlege dir außerdem, ob du jedes Mal \(\Rightarrow\) schadlos durch \(\iff\) ersetzen kannst. (Siehe auch #28.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.27 begonnen.]



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Flo94
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2020-08-16 12:08 - Kezer in Beitrag No. 28 schreibt:
Das ist die richtige Idee. Du solltest aber noch einen Satz dazuschreiben, um dein Argument zu erläutern.

Die Pfeilrichtungen ergeben in dieser Art auch noch keinen Sinn.

Ja klar, die Schlussfolgerung erläutere ich dann natürlich noch schriftlich!



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2020-08-16


Das ist gut.

Es genügt so aber noch nicht, denn wie gesagt sind momentan die Pfeile komplett falsch.


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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-16


2020-08-16 12:12 - StrgAltEntf in Beitrag No. 29 schreibt:
2020-08-16 11:56 - Flo94 in Beitrag No. 26 schreibt:
Für Punkt b) habe ich das Folgende berechnet:

$a_{n+1}>a_{n+2} \Rightarrow \frac{a_n}{2+a_n}>a_{n+2} \Rightarrow \frac{a_n}{2+a_n}>\frac{a_{n+1}}{2+a_{n+1}}=\frac{\frac{a_n}{2+a_n}}{2+\frac{a_n}{2+a_n}}=\frac{a_n}{4+3*a_n} \Rightarrow  4+3*a_n>2+a_n \Rightarrow a_n>-1$

Was ja durch $a_n>0$ aus a) stimmt?

Das ist zumindest sehr kompliziert. Wie es einfacher geht: Siehe #8.

Überlege dir außerdem, ob du jedes Mal \(\Rightarrow\) schadlos durch \(\iff\) ersetzen kannst. (Siehe auch #28.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.27 begonnen.]

Achso, anstatt $a_{n+1}$ mit $a_{n+2}$ vergleichen kann ich auch $a_n$ mit $a_{n+1}$ vergleichen, stimmt!

Ja für mich bedeutet der Pfeil "daraus folgt". Das muss für Mathematiker eine schlimme Darstellung und falsch sein, für mich ist es aber ein Synonym...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.30 begonnen.]



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Flo94
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2020-08-16 12:17 - Kezer in Beitrag No. 31 schreibt:
Das ist gut.

Es genügt so aber noch nicht, denn wie gesagt sind momentan die Pfeile komplett falsch.

Also mit Doppelpfeil ($\iff$) wäre es richtig?



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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-16


Bei Punkt c): wie kann ich da die Konvergenz zeigen? Oder den Grenzwert? Ich hätte jetzt die explizite Formel genommen und den Limes angewandt.
Wenn er existiert (und nicht unendlich ist), dann konvergiert sie.
Aber kann ich das auch mit der rekursiven Form irgendwie machen?
Oder reicht es wenn ich für die Konvergenz das Ergebnis aus a verwende, dass $0\le a_n\le1$ ist?



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2020-08-16 12:18 - Flo94 in Beitrag No. 32 schreibt:
Ja für mich bedeutet der Pfeil "daraus folgt". Das muss für Mathematiker eine schlimme Darstellung und falsch sein, für mich ist es aber ein Synonym...

Auch für einen Mathematiker bedeutet \(\Rightarrow\) "daraus folgt".

Aber die richtige Vorgehensweise wäre
Voraussetzung \(\Rightarrow\) ... \(\Rightarrow\) Das, was zu zeigen ist

Was du machst:
Das, was zu zeigen ist \(\Rightarrow\) ... \(\Rightarrow\) Wahre Aussage (in #26 etwa \(a_n>-1\))

Du kannst es retten, indem du zeigst
Das, was zu zeigen ist \(\iff\) ... \(\iff\) Wahre Aussage

Bei jedem Pfeil musst du dir überlegen, ob er durch einen Doppelpfeil ersetzt werden kann.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, eingetragen 2020-08-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-16 12:23 - Flo94 in Beitrag No. 34 schreibt:
Bei Punkt c): wie kann ich da die Konvergenz zeigen? Oder den Grenzwert? Ich hätte jetzt die explizite Formel genommen und den Limes angewandt.
Wenn er existiert (und nicht unendlich ist), dann konvergiert sie.
Aber kann ich das auch mit der rekursiven Form irgendwie machen?
Oder reicht es wenn ich für die Konvergenz das Ergebnis aus a verwende, dass $0\le a_n\le1$ ist?

So wie die Aufgabe hier aufgebaut ist, ist vermutlich eine Argumentation via Monotiniekriterium angedacht.

Aus der Beschränktheit nach unten und der Tatsache, dass die Folge monoton fallend ist, ergibt sich die Konvergenz. Bleibt man bei der rekursiven Darstellung, kann man dann mit \(a_n=a_{n+1}=a\) in die Rekursionsgleichung eingehen und den Grenzwert \(a\) der Folge berechnen.

Wenn du mit der expliziten Darstellung rechnest, dann kannst du den Grenzwert natürlich in diesem Fall leicht direkt ausrechnen. Dann kommt es ein wenig darauf an, was du vorher schon alles gezeigt hast. Wenn das Monotoniekriterium schon steht, dann ist die Sache klar. Falls nicht, könnte man den Grenzwert auch über die Definition der Folgenkonvergenz nachweisen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.34 begonnen.]
\(\endgroup\)


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2020-08-16 12:43 - StrgAltEntf in Beitrag No. 35 schreibt:
2020-08-16 12:18 - Flo94 in Beitrag No. 32 schreibt:
Ja für mich bedeutet der Pfeil "daraus folgt". Das muss für Mathematiker eine schlimme Darstellung und falsch sein, für mich ist es aber ein Synonym...

Auch für einen Mathematiker bedeutet \(\Rightarrow\) "daraus folgt".

Aber die richtige Vorgehensweise wäre
Voraussetzung \(\Rightarrow\) ... \(\Rightarrow\) Das, was zu zeigen ist

Was du machst:
Das, was zu zeigen ist \(\Rightarrow\) ... \(\Rightarrow\) Wahre Aussage (in #26 etwa \(a_n>-1\))

Du kannst es retten, indem du zeigst
Das, was zu zeigen ist \(\iff\) ... \(\iff\) Wahre Aussage

Bei jedem Pfeil musst du dir überlegen, ob er durch einen Doppelpfeil ersetzt werden kann.


Ok, das macht durchaus Sinn. Aber bei mir im Studium ist dies nicht so essentiell, werde aber versuchen etwas klarer zu schreiben...



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Flo94
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-16 12:44 - Diophant in Beitrag No. 36 schreibt:
Hallo,

2020-08-16 12:23 - Flo94 in Beitrag No. 34 schreibt:
Bei Punkt c): wie kann ich da die Konvergenz zeigen? Oder den Grenzwert? Ich hätte jetzt die explizite Formel genommen und den Limes angewandt.
Wenn er existiert (und nicht unendlich ist), dann konvergiert sie.
Aber kann ich das auch mit der rekursiven Form irgendwie machen?
Oder reicht es wenn ich für die Konvergenz das Ergebnis aus a verwende, dass $0\le a_n\le1$ ist?

So wie die Aufgabe hier aufgebaut ist, ist vermutlich eine Argumentation via Monotiniekriterium angedacht.

Aus der Beschränktheit nach unten und der Tatsache, dass die Folge monoton fallend ist, ergibt sich die Konvergenz. Bleibt man bei der rekursiven Darstellung, kann man dann mit \(a_n=a_{n+1}=a\) in die Rekursionsgleichung eingehen und den Grenzwert \(a\) der Folge berechnen.

Wenn du mit der expliziten Darstellung rechnest, dann kannst du den Grenzwert natürlich in diesem Fall leicht direkt ausrechnen. Dann kommt es ein wenig darauf an, was du vorher schon alles gezeigt hast. Wenn das Monotoniekriterium schon steht, dann ist die Sache klar. Falls nicht, könnte man den Grenzwert auch über die Definition der Folgenkonvergenz nachweisen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.34 begonnen.]

Ok, der Ansatz für den Grenzwert ist gut, habe sowohl mit diesem $a=0$, als auch mit dem Limes $0$ als Grenzwert raus bekommen.
\(\endgroup\)


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Somit konnte ich alle Aufgaben ohne explizite Funktion lösen und ich weiß jetzt auch, was die explizite Funktion wäre. Also kann ich es mit beidem lösen, falls eines nicht klappt.

Danke nochmal an alle für die Hilfe, hat mir sehr weiter geholfen!
Ich hoffe beim nächsten Mal kommt mir bekannteres zur Prüfung und es klappt endlich...



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