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Schulmathematik » Potenzen und Logarithmen » Gleichung lösen/ umschreiben
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Universität/Hochschule J Gleichung lösen/ umschreiben
HenningS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-15


Hallo zusammen!

Ich verstehe folgenden Umrechnungsschritt nicht:

ln(y) = 2*ln(1+2t)+c

y(t) = C*(1+2t)^2

Es muss offentlichlich auf beiden seiten e^x gerechnet werden aber ich komme einfach nicht auf C*(1+2t)^2 raus... Kann mir bitte jemand diesen Schritt zeigen?

Vielen Dank und Liebe Grüße!
HenningS

P.S.: Es ist auch in der Lösung aus c ein C geworden, vermutlich wurde hier einfach etwas weggelassen, habe keine weitere Erklärung dafür...



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-15


Ja $c$ und $C$ unterscheiden sich. Aus $\ln(y)=2 \ln(1+2t)+c$ folgt $y=\exp(\ln(y))=\exp(2 \ln(1+2t)+c) = \exp(\ln(1+2t))^2 \exp(c) = (1+2t)^2 C$, wenn man $C:=\exp(c)$ setzt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo HenningS und willkommen hier im Forum!

Vermutlich geht es um die Lösung einer Differentialgleichung?

Dann ist c die Integrationskonstante und die wurde zwischendurch einmal "umdefiniert", etwa so:

\[ln(y)=2\cdot \ln(1+2t)+c=\ln\left((1+2t)^2\right)+c\]
Hier habe ich ersteinmal ein Logarithmengesetz angewendet. Nun wird exponiert:

\[y=e^{\ln\left((1+2t)^2\right)+c}=e^{\ln\left((1+2t)^2\right)}\cdot e^c\]
Mit \(C=e^c\) und \(e^{\ln x}=x\) folgt nun:

\[y=C\cdot(1+2t)^2\]
PS: wenn es um eine DGL geht, dann sollte es wohl besser \(\ln|y|\) heißen zu Beginn...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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HenningS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-15 14:01 - Diophant in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo HenningS und willkommen hier im Forum!

Vermutlich geht es um die Lösung einer Differentialgleichung?

Dann ist c die Integrationskonstante und die wurde zwischendurch einmal "umdefiniert", etwa so:

\[ln(y)=2\cdot \ln(1+2t)+c=\ln\left((1+2t)^2\right)+c\]
Hier habe ich ersteinmal ein Logarithmengesetz angewendet. Nun wird exponiert:

\[y=e^{\ln\left((1+2t)^2\right)+c}=e^{\ln\left((1+2t)^2\right)}\cdot e^c\]
Mit \(C=e^c\) und \(e^{\ln x}=x\) folgt nun:

\[y=C\cdot(1+2t)^2\]
PS: wenn es um eine DGL geht, dann sollte es wohl besser \(\ln|y|\) heißen zu Beginn...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Danke!!!
\(\endgroup\)


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