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Analysis » Stetigkeit » Umkehrsatz für injektive Abbildungen auf Kompakta
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Universität/Hochschule J Umkehrsatz für injektive Abbildungen auf Kompakta
Drumbene91
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  Themenstart: 2020-08-18

Hallo zusammen, ich versuche gerade folgendes Beispiel zu verstehen, es geht darum aufzuzeigen, weshalb die Kompaktheit eine notwendige Voraussetzung für folgenden Satz ist. Hier znächst noch einmal die Aussage, um die es geht: (M ist hier Teilmenge eines metrischen Raumes) \ Ist M kompakt und f: M -> M´ stetig und injektiv, so ist auch f^(-1): f(M)->M stetig Hier das Beispiel: Wir betrachten f:[0, 2\pi )-> \IR^2 f bildet bijektiv auf sein Bild ab, den Einheitskreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt,also Im(f) =S^1 ={(x,y)\in \IR^2 | x^2+y^2=1}. Die Umkehrabbildung f^(-1) :S^1 -> [0,2 \pi )ist aber nicht stetig, da es keine \delta-Umgebung des Punktes a= (1,0) \in S^1 gibt, die ganz in die 1-Umgebung des Punktes 0 in [0,2 \pi ) abgebildet wird; das Bild jedernoch so kleinen Umgebung von a enthält Zahlen nahe bei 2 \pi . Mir ist nicht klar, wie man das sieht, außerdem verstehe ich ehrlich gesagt nicht, wie man auf die Umkehrabbildung kommt. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp, LG


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo Drumbene91, die Argumentation hier passt offensichtlich zur Abbildungsvorschrift \[\varphi\mapsto\bpm \cos\varphi\\ \sin\varphi\epm\] Die "zeichnet" den Kreisbogen ausgehend vom Punkt (1,0) im Gegenuhrzeigersinn, wenn \(\varphi\) seinen Definitionsbereich von \(0\) beginnend aufwärts durchläuft. Und wenn du jetzt Punkte in der Nähe von (1,0) betrachtest, dann greift hier genau die von dir angeführte Argumentation. Hilft das schon ein Stückchen weiter? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant]\(\endgroup\)


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Drumbene91
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18

Hallo Diophant, zunächst vielen Dank für deine Antwort, hat es vielleicht damit zu tun, dass ich am "Ende " meines Def. bereiches wieder am Ausgangspunkt (zumindest fast) ankomme? LG


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-18

Hallo, ja genau: du kommst diesem Ausgangspunkt ja wieder beliebig nahe. Oder wie so ein alter Kalauer heißt: Der Kreis ist eine Figur, bei der an allen Ecken und Enden gespart wurde... 😉 Gruß, Diophant


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Drumbene91
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18

:) Vielen Dank! Hast du noch einen Ansatz, wie man die Umkehrabbildung explizit angeben könnte?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2020-08-18 12:24 - Drumbene91 in Beitrag No. 4) :) Vielen Dank! Hast du noch einen Ansatz, wie man die Umkehrabbildung explizit angeben könnte? \quoteoff hm, explizit ja, aber nur abschnittsweise. Und das ist schon als Tipp zu verstehen. Überlege mal: welche Funktion ordnet jedem Punktepaar \((x,y)\) den Winkel zwischen deinem Radiusvektor und der x-Achse zu (-> Stichwort Steigung...)? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Drumbene91
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18

Meinst du evtl einen Ausdruck der Form \ x= +- sqrt(1-y^2) ?


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-18

Hallo, nein, den Arkustangens. Da muss man aber noch quadrantenweise etwas dazuaddieren sowie zwei Sonderfälle beachten, um überhaupt den kompletten Kreis abzudecken und genau den urspünglichen Definitionsbereich zu treffen. Gruß, Diophant


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Drumbene91
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-18

Ok, vielen Dank dir! LG Drumbene91


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