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Universität/Hochschule J 2D-Flussintegral ohne Gauß
Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-30


Hallo,
ich wurde von Kommilitonen gebeten die folgende Aufgabe mal anzuschauen, bin mir jetzt aber selber gar nicht mehr so sicher wie man sie löst. Gegeben ist das Vektorfeld $F$: $$F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, F(x,y) = \begin{pmatrix} x+x^2y \\ y-xy^2 \end{pmatrix}.$$ Gesucht ist der Fluss durch den Rand des Rechtecks $$M = [1,3] \times [1,2].$$ Der Fluss soll ohne den Satz von Gauß ausgerechnet zu werden. Ich hab mir bisher überlegt $\partial_xF(x,y) \times \partial_y F(x,y)$ weiter zu berechnen, aber danach wusste ich nicht mehr weiter 🤔

Danke und Grüße
h


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{ Js}$



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-30


2020-08-30 22:30 - Wirkungsquantum im Themenstart schreibt:
Ich hab mir bisher überlegt $\partial_xF(x,y) \times \partial_y F(x,y)$ weiter zu berechnen

Wozu sollte man diese Ableitungen denn benötigen?



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-30


2020-08-30 22:54 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-08-30 22:30 - Wirkungsquantum im Themenstart schreibt:
Ich hab mir bisher überlegt $\partial_xF(x,y) \times \partial_y F(x,y)$ weiter zu berechnen

Wozu sollte man diese Ableitungen denn benötigen?
Ich dachte so könnte man den Normalenvektor für das Flussintegral finden.


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-30


2020-08-30 22:58 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich dachte so könnte man den Normalenvektor für das Flussintegral finden.

Der Normalenvektor hängt doch nur mit dem Rechteck zusammen. Mit dem Vektorfeld hat er nichts zu tun.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-30


Ach so, verstehe. Könnte man die Fläche als Ebene auffassen und den Normalenvektor mittels analytischer Geometrie bestimmen?


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{ Js}$



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-30


2020-08-30 23:29 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 4 schreibt:
Könnte man die Fläche als Ebene auffassen und den Normalenvektor mittels analytischer Geometrie bestimmen?

Es geht hier um ein Rechteck. Wie dessen Normalenvektoren aussehen, sollte doch auch ohne Rechnung klar sein.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-30


Einfach parallel zur "z-Achse", oder?


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-31


2020-08-30 23:47 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 6 schreibt:
Einfach parallel zur "z-Achse", oder?

Die Aufgabe spielt sich im $\mathbb R^2$ ab, dort gibt es keine $z$-Achse.

Das Rechteck hat vier Seiten: $\partial M=S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4$ mit $S_1=[1,3]\times\{1\}$, $S_2=\{3\}\times[1,2]$, $S_3=[1,3]\times\{2\}$ und $S_4=\{1\}\times[1,2]$. Und dazu gehören die äußeren Normalen$$ n_1=\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}\;,\quad
n_2=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\;,\quad
n_3=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\;,\quad
n_4=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}\;.$$



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-31


Ach so, dann kann man sich ja einfach leicht überlegen, das die Normalenvektoren so zustande kommen, oder?

Edit:
Dann müsste ich ja jetzt nur noch wie in dieser Skizze alle Seitenlänge parametrisieren, oder?







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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-31


2020-08-31 08:27 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 8 schreibt:
Ach so, dann kann man sich ja einfach leicht überlegen, das die Normalenvektoren so zustande kommen, oder?

Ja. Ich glaube nicht, dass hier jemand eine ausführliche Rechnung sehen will.

2020-08-31 08:27 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 8 schreibt:
Dann müsste ich ja jetzt nur noch wie in dieser Skizze alle Seitenlänge parametrisieren, oder?

So ist es.

Und dein Ergebnis kannst du leicht kontrollieren, weil das Integral wegen $\operatorname{div}F=2$ die doppelte Fläche von $M$ liefern muss.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-31


Okay, vielen dank für die Hilfe! Ich komm seltsamerweise  ohne div auf 21, aber das rechne ich mal in Ruhe nach.


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Wirkungsquantum
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Jetzt passt alles, danke nochmal.


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